菜单图标 主题
Search

拉马努金 6-10-8 恒等式

下载 Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook

令 ad=bc, 则

64[(a+b+c)^6+(b+c+d)^6-(c+d+a)^6-(d+a+b)^6+(a-d)^6-(b-c)^6][(a+b+c)^(10)+(b+c+d)^(10)-(c+d+a)^(10)-(d+a+b)^(10)+(a-d)^(10)-(b-c)^(10)] =45[(a+b+c)^8+(b+c+d)^8-(c+d+a)^8-(d+a+b)^8+(a-d)^8-(b-c)^8]^2.
(1)

这也可以通过定义来表达

F_(2m)(a,b,c,d)=(a+b+c)^(2m)+(b+c+d)^(2m)-(c+d+a)^(2m)-(d+a+b)^(2m)+(a-d)^(2m)-(b-c)^(2m)
(2)
f_(2m)(x,y)=(1+x+y)^(2m)+(x+y+xy)^(2m)-(y+xy+1)^(2m)-(xy+1+x)^(2m)+(1-xy)^(2m)-(x-y)^(2m).
(3)

则

F_(2m)(a,b,c,d)=a^(2m)f_(2m)(x,y),
(4)

恒等式 (1) 可以写成

64f_6(x,y)f_(10)(x,y)=45f_8^2(x,y).
(5)

顺便一提，

f_2(x,y)=0
(6)
f_4(x,y)=0.
(7)

恒等式的另一个版本可以用线性形式给出。令 c=a+b, 则，

64{[ax+(b+c)y]^6+[bx-(a+c)y]^6+[cx-(a-b)y]^6 -[ax-(b+c)y]^6-[bx+(a+c)y]^6-[cx+(a-b)y]^6]} ×{[ax+(b+c)y]^(10)+[bx-(a+c)y]^(10)+[cx-(a-b)y]^(10) -[ax-(b+c)y]^(10)-[bx+(a+c)y]^(10)-[cx+(a-b)y]^(10)} =45{[ax+(b+c)y]^8+[bx-(a+c)y]^8+[cx-(a-b)y]^8 -[ax-(b+c)y]^8-[bx+(a+c)y]^8-[cx+(a-b)y]^8}^2.
(8)

考虑到这一点，可以更好地理解这一点

64[p^6+q^6+(p+q)^6-r^6-s^6-(r+s)^6] ×[p^(10)+q^(10)+(p+q)^(10)-r^(10)-s^(10)-(r+s)^(10)] -45[p^8+q^8+(p+q)^8-r^8-s^8-(r+s)^8]^2 =(p^2+pq+q^2-r^2-rs-s^2)P(z),
(9)

其中 P(z) 是一个 14 次齐次多项式。 那么情况就简化为找到形如 (p,q,r,s) 的表达式，使得

p^2+pq+q^2=r^2+rs+s^2
(10)

(Piezas)。

另请参阅

Hirschhorn 3-7-5 恒等式, Eisenstein 整数

此条目由 Tito Piezas III (作者链接) 贡献

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 3 and 102-106, 1994.Berndt, B. C. and Bhargava, S. "A Remarkable Identity Found in Ramanujan's Third Notebook." Glasgow Math. J. 34, 341-345, 1992.Berndt, B. C. and Bhargava, S. "Ramanujan--For Lowbrows." Amer. Math. Monthly 100, 644-656, 1993.Bhargava, S. "On a Family of Ramanujan's Formulas for Sums of Fourth Powers." Ganita 43, 63-67, 1992.Hirschhorn, M. D. "Two or Three Identities of Ramanujan." Amer. Math. Monthly 105, 52-55, 1998.Nanjundiah, T. S. "A Note on an Identity of Ramanujan." Amer. Math. Monthly 100, 485-487, 1993.Piezas, T. "Ramanujan and the Quartic Equation 2^4+2^4+3^4+4^4+4^4=5^4." http://www.geocities.com/titus_piezas/RamQuad.pdf.Ramanujan, S. Notebooks. New York: Springer-Verlag, pp. 385-386, 1987.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

拉马努金 6-10-8 恒等式

引用为

Piezas, Tito III. "拉马努金 6-10-8 恒等式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/Ramanujan6-10-8Identity.html

主题分类