主题
Search

古尔德多项式

下载 Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook

多项式 G_n(x;a,b) 由关联的 谢弗序列 给出，其中

f(t)=e^(at)(e^(bt)-1),
(1)

其中 b!=0。 反函数（以及因此的 生成函数）不能通过代数方法计算，但 生成函数

sum_(k=0)^infty(G_k(x;a,b))/(k!)t^k=e^(xf^(-1)(t))
(2)

可以用以下求和式表示

f^(-1)(t)=sum_(k=1)^infty1/b(-(b+ak)/b; k-1)(t^k)/k.
(3)

这导致

G_n(x;a,b)=x/(x-an)((x-an)/b)_n
(4)

其中 (x)_n 是一个 递降阶乘。 前几个是

G_0(x;a,b)=1
(5)
G_1(x;a,b)=x/b
(6)
G_2(x;a,b)=-((2a+b-x)x)/(b^2)
(7)
G_3(x;a,b)=((3a+b-x)(3a+2b-x)x)/(b^3)
(8)
G_4(x;a,b)=-((4a+b-x)(4a+2b-x)(4a+3b-x)x)/(b^4).
(9)

从 谢弗序列 获得的二项式恒等式给出了广义的 楚-范德蒙恒等式

(x+y)/(x+y-an)((x+y-an)/b; n) =sum_(k=0)^nx/(x-ak)y/(y-a(n-k))((x-ak)/b; k)((y-a(n-k))/b; n-k)
(10)

(Roman 1984, p. 69; 笔误已更正)。

在特殊情况下 a=-b/2, 函数 f(t) 简化为

f(t)=e^(bt/2)-e^(-bt/2)=2sinh(1/2bt),
(11)

这给出了 生成函数

sum_(k=0)^infty(G_k(x;-1/2b,b))/(k!)t^k=exp[(2xsinh^(-1)(1/2t))/b],
(12)

给出多项式

G_0(x;-1/2b,b)=1
(13)
G_1(x;-1/2b,b)=x/b
(14)
G_2(x;-1/2b,b)=(x^2)/(b^2)
(15)
G_3(x;-1/2b,b)=-(x(b-2x)(b+2x))/(4b^3)
(16)
G_4(x;-1/2b,b)=-(x^2(b-x)(b+x))/(b^4).
(17)

另请参阅

中心阶乘, 递降阶乘, 谢弗序列

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Gould, H. W. "Note on a Paper of Sparre-Anderson." Math. Scand. 6, 226-230, 1958.Gould, H. W. "Stirling Number Representation Problems." Proc. Amer. Math. Soc. 11, 447-451, 1960.Gould, H. W. "A Series of Transformation for Finding Convolution Identities." Duke Math. J. 28, 193-202, 1961.Gould, H. W. "Note on a Paper of Klamkin Concerning Stirling Numbers." Amer. Math. Monthly 68, 477-479, 1961.Gould, H. W. "A New Convolution Formula and Some New Orthogonal Relations for the Inversion of Series." Duke Math. J. 29, 393-404, 1962.Gould, H. W. "Congruences Involving Sums of Binomial Coefficients and a Formula of Jensen." Amer. Math. Monthly 69, 400-402, 1962.Roman, S. "The Gould Polynomials and he Central Factorial Polynomials." §4.1.4 in 符号微积分。 New York: Academic Press, pp. 67-70, 1984.Rota, G.-C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A. "On the Foundations of Combinatorial Theory. VIII: Finite Operator Calculus." J. Math. Anal. Appl. 42, 684-760, 1973.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

古尔德多项式

请引用为

Weisstein, Eric W. "古尔德多项式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GouldPolynomial.html

主题分类