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拉盖尔多项式

LaguerreL

拉盖尔多项式是 拉盖尔微分方程 的解，其中 nu=0。 上图展示了 x in [0,1] 和 n=1, 2, ..., 5 的情况，并在 Wolfram 语言 中实现为LaguerreL[n, x].

前几个拉盖尔多项式为

L_0(x)=1
(1)
L_1(x)=-x+1
(2)
L_2(x)=1/2(x^2-4x+2)
(3)
L_3(x)=1/6(-x^3+9x^2-18x+6).
(4)

当从最小到最大的幂排序，并将分母分解后，非零系数的三角形为 1; -1, 1; 2, -4, 1; -6, 18, -9 1; 24, -96, ... (OEIS A021009)。 前导分母为 1, -1, 2, -6, 24, -120, 720, -5040, 40320, -362880, 3628800, ... (OEIS A000142)。

拉盖尔多项式由以下求和公式给出

L_n(x)=sum_(k=0)^n((-1)^k)/(k!)(n; k)x^k,
(5)

其中 (n; k) 是一个 二项式系数。

拉盖尔多项式的 罗德里格斯表示 为

L_n(x)=(e^x)/(n!)(d^n)/(dx^n)(x^ne^(-x))
(6)

拉盖尔多项式的 生成函数 为

g(x,z)=(exp(-(xz)/(1-z)))/(1-z)
(7)
=1+(-x+1)z+(1/2x^2-2x+1)z^2+(-1/6x^3+3/2x^2-3x+1)z^3+....
(8)

通常用作拉盖尔多项式定义的围道积分由下式给出

L_n(z)=1/(2pii)∮(e^(-zt/(1-t)))/((1-t)t^(n+1))dt,
(9)

其中围道 gamma 包围原点但不包围点 z=1 (Arfken 1985, pp. 416 和 722)。

拉盖尔多项式满足以下 递推关系

(n+1)L_(n+1)(x)=(2n+1-x)L_n(x)-nL_(n-1)(x)
(10)

(Petkovšek et al. 1996) 和

xL_n^'(x)=nL_n(x)-nL_(n-1)(x).
(11)

具有 nu!=0 和整数 k 的相关 拉盖尔微分方程 的解称为 相关拉盖尔多项式 L_n^k(x) (Arfken 1985, p. 726)，或在较旧的文献中称为索宁多项式 (Sonine 1880, p. 41; Whittaker and Watson 1990, p. 352)。

另请参阅

相关拉盖尔多项式, 拉盖尔微分方程, 多元拉盖尔多项式, 正交多项式

相关 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/Polynomials/LaguerreL/, http://functions.wolfram.com/Polynomials/LaguerreL3/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LaguerreLGeneral/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LaguerreL3General/

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). "正交多项式." 第 22 章 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 771-802, 1972.Andrews, G. E.; Askey, R.; 和 Roy, R. "拉盖尔多项式." §6.2 in Special Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 282-293, 1999.Arfken, G. "拉盖尔函数." §13.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 721-731, 1985.Chebyshev, P. L. "关于单变量函数的发展." Bull. Ph.-Math., Acad. Imp. Sc. St. Pétersbourg 1, 193-200, 1859.Chebyshev, P. L. Oeuvres, Vol. 1. New York: Chelsea, pp. 499-508, 1987.Iyanaga, S. 和 Kawada, Y. (编). "拉盖尔函数." 附录 A, 表 20.VI in Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, p. 1481, 1980.Koekoek, R. 和 Swarttouw, R. F. "拉盖尔." §1.11 in The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its q-Analogue. Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 47-49, 1998.Laguerre, E. de. "关于积分 int_x^(+infty)x^(-1)e^(-x)dx." Bull. Soc. math. France 7, 72-81, 1879. Reprinted in Oeuvres, Vol. 1. New York: Chelsea, pp. 428-437, 1971.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; 和 Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 61-62, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Roman, S. "拉盖尔多项式." §3.1 i The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 108-113, 1984.Rota, G.-C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A. "拉盖尔多项式." §11 in "关于组合理论的基础. VIII: 有限算子演算." J. Math. Anal. Appl. 42, 684-760, 1973.Sansone, G. "拉盖尔和埃尔米特级数展开." 第 4 章 in Orthogonal Functions, rev. English ed. New York: Dover, pp. 295-385, 1991.Sloane, N. J. A. 整数序列 A000142/M1675 和 A021009 in "整数序列在线百科全书"。Sonine, N. J. "关于柱函数和连续函数的级数展开." Math. Ann. 16, 1-80, 1880.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "拉盖尔多项式 L_n(x)." 第 23 章 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 209-216, 1987.Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 第 16 章，例 8 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 352, 1990.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

拉盖尔多项式

请引用为

Weisstein, Eric W. "拉盖尔多项式。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LaguerrePolynomial.html

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