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第一类切比雪夫多项式

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ChebyshevT

第一类切比雪夫多项式是一组正交多项式，定义为切比雪夫微分方程的解，并用 T_n(x) 表示。它们用作 最小二乘拟合的近似，并且是 盖根鲍尔多项式 的特殊情况，其中 alpha=0。它们还与三角倍角公式密切相关。第一类切比雪夫多项式用 T_n(x) 表示，并在 Wolfram 语言中实现为ChebyshevT[n, x]。它们被归一化，使得 T_n(1)=1。上面显示了前几个多项式，对于 x in [-1,1] 和 n=1, 2, ..., 5。

第一类切比雪夫多项式 T_n(z) 可以通过轮廓积分定义

T_n(z)=1/(4pii)∮((1-t^2)t^(-n-1))/((1-2tz+t^2))dt,
(1)

其中轮廓包围原点，并沿逆时针方向遍历 (Arfken 1985, p. 416)。

前几个第一类切比雪夫多项式是

T_0(x)=1
(2)
T_1(x)=x
(3)
T_2(x)=2x^2-1
(4)
T_3(x)=4x^3-3x
(5)
T_4(x)=8x^4-8x^2+1
(6)
T_5(x)=16x^5-20x^3+5x
(7)
T_6(x)=32x^6-48x^4+18x^2-1.
(8)

当按幂次从小到大排序时，非零系数三角形为 1; 1; -1, 2; -3, 4; 1, -8, 8; 5, -20, 16, ... (OEIS A008310)。

ChebyshevTSpiral

通过径向绘制 T_n(x)，为每个 n 值增加半径，并填充曲线之间的区域，可以获得一个漂亮的图 (Trott 1999, pp. 10 和 84)。

第一类切比雪夫多项式通过以下恒等式定义

T_n(costheta)=cos(ntheta)
(9)

或

T_n(coshtheta)=cosh(ntheta).
(10)

第一类切比雪夫多项式可以从以下生成函数获得

g_1(t,x)=(1-t^2)/(1-2xt+t^2)
(11)
=T_0(x)+2sum_(n=1)^(infty)T_n(x)t^n
(12)

和

g_2(t,x)=(1-xt)/(1-2xt+t^2)
(13)
=sum_(n=0)^(infty)T_n(x)t^n
(14)

对于 |x|<=1 和 |t|<1 (Beeler et al. 1972, Item 15)。（一个密切相关的生成函数是第二类切比雪夫多项式定义的基础。）

用平方根的幂表示的直接形式由下式给出

T_n(z)=1/2[(x+sqrt(x^2-1))^(-n)+(x+sqrt(x^2-1))^n].
(15)

多项式也可以用以下求和式定义

T_n(x)=n/2sum_(r=0)^(|_n/2_|)((-1)^r)/(n-r)(n-r; r)(2x)^(n-2r)
(16)
=sum_(m=0)^(|_n/2_|)(n; 2m)x^(n-2m)(x^2-1)^m,
(17)

其中 (n; k) 是二项式系数，|_x_| 是向下取整函数，或者乘积

T_n(x)=2^(n-1)product_(k=1)^n{x-cos[((2k-1)pi)/(2n)]}
(18)

(Zwillinger 1995, p. 696)。

T_n 也满足奇特的行列式方程

T_n=|x 1 0 0 ... 0 0; 1 2x 1 0 ... 0 0; 0 1 2x 1 ... 0 0; 0 0 1 2x ... 0 0; 0 0 0 1 ... 1 0; | ... ... ... ... ... 1; 0 0 0 0 ... 1 2x|
(19)

(Nash 1986)。

第一类切比雪夫多项式是雅可比多项式 P_n^((alpha,beta)) 的特殊情况，其中 alpha=beta=-1/2,

T_n(x)=(P_n^((-1/2,-1/2))(x))/(P_n^((-1/2,-1/2))(1))
(20)
=_2F_1(-n,n;1/2;1/2(1-x)),
(21)

其中 _2F_1(a,b;c;x) 是超几何函数 (Koekoek and Swarttouw 1998)。

零点出现在当

x=cos[(pi(k-1/2))/n]
(22)

对于 k=1, 2, ..., n。极值出现在当

x=cos((pik)/n),
(23)

其中 k=0,1,...,n。在最大值处，T_n(x)=1，在最小值处，T_n(x)=-1。

切比雪夫多项式是关于权重函数 (1-x^2)^(-1/2) 的正交多项式

int_(-1)^1(T_m(x)T_n(x)dx)/(sqrt(1-x^2))={1/2pidelta_(nm) for m!=0, n!=0; pi for m=n=0,
(24)

其中 delta_(mn) 是克罗内克 delta 函数。第一类切比雪夫多项式满足额外的离散恒等式

sum_(k=1)^mT_i(x_k)T_j(x_k)={1/2mdelta_(ij) for i!=0, j!=0; m for i=j=0,
(25)

其中 x_k 对于 k=1, ..., m 是 m 个 T_m(x) 的零点。

它们也满足以下递推关系

T_(n+1)(x)=2xT_n(x)-T_(n-1)(x)
(26)
T_(n+1)(x)=xT_n(x)-sqrt((1-x^2){1-[T_n(x)]^2})
(27)

对于 n>=1，以及

(x-1)[T_(2n+1)(x)-1]=[T_(n+1)(x)-T_n(x)]^2
(28)
2(x^2-1)[T_(2n)(x)-1]=[T_(n+1)(x)-T_(n-1)(x)]^2
(29)

(Watkins and Zeitlin 1993; Rivlin 1990, p. 5)。

它们有一个复积分表示

T_n(x)=1/(4pii)int_gamma((1-z^2)z^(-n-1)dz)/(1-2xz+z^2)
(30)

以及一个罗德里格斯表示

T_n(x)=((-1)^nsqrt(pi)(1-x^2)^(1/2))/(2^n(n-1/2)!)(d^n)/(dx^n)[(1-x^2)^(n-1/2)].
(31)

使用具有乘法规则的快速斐波那契变换

(A,B)(C,D)=(AD+BC+2xAC,BD-AC)
(32)

得到

(T_(n+1)(x),-T_n(x))=(T_1(x),-T_0(x))(1,0)^n.
(33)

在 (-1,1) 范围内使用格拉姆-施密特正交化，权重函数为 (1-x^2)^((-1/2))，得到

p_0(x)=1
(34)
p_1(x)=[x-(int_(-1)^1x(1-x^2)^(-1/2)dx)/(int_(-1)^1(1-x^2)^(-1/2)dx)]
(35)
=x-([-(1-x^2)^(1/2)]_(-1)^1)/([sin^(-1)x]_(-1)^1)
(36)
=x
(37)
p_2(x)=[x-(int_(-1)^1x^3(1-x^2)^(-1/2)dx)/(int_(-1)^1x^2(1-x^2)^(-1/2)dx)]x-[(int_(-1)^1x^2(1-x^2)^(-1/2)dx)/(int_(-1)^1(1-x^2)^(-1/2)dx)]·1
(38)
=[x-0]x-(pi/2)/pi
(39)
=x^2-1/2,
(40)

等等。归一化使得 T_n(1)=1 得到第一类切比雪夫多项式。

第一类切比雪夫多项式与第一类贝塞尔函数 J_n(x) 和第一类修正贝塞尔函数 I_n(x) 通过以下关系式相关

J_n(x)=i^nT_n(id/(dx))J_0(x)
(41)
I_n(x)=T_n(d/(dx))I_0(x).
(42)

令 x=costheta 允许第一类切比雪夫多项式写成

T_n(x)=cos(ntheta)
(43)
=cos(ncos^(-1)x).
(44)

变换后的微分方程的第二个线性相关解

(d^2T_n)/(dtheta^2)+n^2T_n=0
(45)

然后由下式给出

V_n(x)=sin(ntheta)
(46)
=sin(ncos^(-1)x),
(47)

也可以写成

V_n(x)=sqrt(1-x^2)U_(n-1)(x),
(48)

其中 U_n 是第二类切比雪夫多项式。请注意，V_n(x) 因此不是 多项式。

结式 rho(T_n(x),T_k(x)) 的三角形由 {0}, {-1,0}, {0,-4,0}, {1,16,64,0}, {0,-16,0,4096,0}, ... (OEIS A054375) 给出。

ChebyshevTPowers

次数为 n-2 的多项式

p_n(x)=x^n-2^(1-n)T_n(x)
(49)

前几个是

p_1(x)=0
(50)
p_2(x)=1/2
(51)
p_3(x)=3/4x
(52)
p_4(x)=x^2-1/8
(53)
p_5(x)=5/(16)(4x^3-x)
(54)

是次数 <n 的多项式，在区间 (-1,1) 中最接近 x^n。最大偏差为 2^(1-n)，在 n+1 个点处，其中

x=cos((kpi)/n),
(55)

对于 k=0, 1, ..., n (Beeler et al. 1972)。

另请参阅

切比雪夫逼近公式, 第二类切比雪夫多项式

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/Polynomials/ChebyshevT/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/ChebyshevTGeneral/

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (编). "Orthogonal Polynomials." Ch. 22 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 771-802, 1972.Arfken, G. "Chebyshev (Tschebyscheff) Polynomials" and "Chebyshev Polynomials--Numerical Applications." §13.3 and 13.4 in 物理学家的数学方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 731-748, 1985.Beeler et al. Item 15 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 9, Feb. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/recurrence.html#item15.Iyanaga, S. and Kawada, Y. (编). "Čebyšev (Tschebyscheff) Polynomials." Appendix A, Table 20.II in 数学百科辞典。 Cambridge, MA: MIT Press, pp. 1478-1479, 1980.Koekoek, R. and Swarttouw, R. F. "Chebyshev." §1.8.2 in 超几何正交多项式的 Askey 格式及其 q-模拟。 Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 41-43, 1998.Koepf, W. "Efficient Computation of Chebyshev Polynomials." In 计算机代数系统：实用指南 (Ed. M. J. Wester). New York: Wiley, pp. 79-99, 1999.Nash, P. L. "Chebyshev Polynomials and Quadratic Path Integrals." J. Math. Phys. 27, 2963, 1986.Rivlin, T. J. 切比雪夫多项式。 New York: Wiley, 1990.Shohat, J. Théorie générale des polynomes orthogonaux de Tchebichef. Paris: Gauthier-Villars, 1934.Sloane, N. J. A. Sequences A008310 and A054375 in "整数序列在线百科全书."Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Chebyshev Polynomials T_n(x) and U_n(x)." Ch. 22 in 函数图集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 193-207, 1987.Trott, M. Graphica 1：Mathematica 图形世界。虚幻变为现实：Michael Trott 的图像。 Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 10 and 84, 1999.Vasilyev, N. and Zelevinsky, A. "A Chebyshev Polyplayground: Recurrence Relations Applied to a Famous Set of Formulas." Quantum 10, 20-26, Sept./Oct. 1999.Watkins, W. and Zeitlin, J. "The Minimal Polynomial of cos(2pi/n)." Amer. Math. Monthly 100, 471-474, 1993.Zwillinger, D. (编). CRC 标准数学表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.

在 Wolfram|Alpha 中引用

第一类切比雪夫多项式

请引用为

Weisstein, Eric W. "第一类切比雪夫多项式。" 来自 MathWorld—— Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/ChebyshevPolynomialoftheFirstKind.html

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