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伯努利多项式

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BernoulliPolynomials

伯努利多项式有两种常用定义。此处用 B_n(x) 表示第 n 个伯努利多项式（Abramowitz 和 Stegun 1972），B_n^*(x)（或有时为 phi_n(x)）表示伯努利多项式的古老形式。当在零处求值时，这些定义对应于伯努利数，

B_n=B_n(0)
(1)
B_n^*=B_n^*(0).
(2)

伯努利多项式是一个 Appell 序列，其中

g(t)=(e^t-1)/t
(3)

（Roman 1984，第 31 页），给出母函数

(te^(tx))/(e^t-1)=sum_(n=0)^inftyB_n(x)(t^n)/(n!)
(4)

（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 804 页），由 Euler (1738) 首次获得。前几个伯努利多项式是

B_0(x)=1
(5)
B_1(x)=x-1/2
(6)
B_2(x)=x^2-x+1/6
(7)
B_3(x)=x^3-3/2x^2+1/2x
(8)
B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-1/(30)
(9)
B_5(x)=x^5-5/2x^4+5/3x^3-1/6x
(10)
B_6(x)=x^6-3x^5+5/2x^4-1/2x^2+1/(42).
(11)

Whittaker 和 Watson（1990，第 126 页）通过写入以下公式定义了一种较旧类型的“伯努利多项式”

t(e^(zt)-1)/(e^t-1)=sum_(n=1)^infty(phi_n(z)t^n)/(n!)
(12)

而不是 (12)。这给出了多项式

phi_n(x)=B_n(x)-B_n,
(13)

其中 B_n 是伯努利数，前几个伯努利数是

phi_1(x)=x
(14)
phi_2(x)=x^2-x
(15)
phi_3(x)=x^3-3/2x^2+1/2x
(16)
phi_4(x)=x^4-2x^3+x^2
(17)
phi_5(x)=x^5-5/2x^4+5/3x^3-1/6x.
(18)

伯努利多项式也满足

B_n(1)=(-1)^nB_n(0)
(19)

和

B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x)
(20)

（Lehmer 1988）。对于 n!=1，

B_n(1)=B_n,
(21)

所以

B_n(1)=B_n=0
(22)

对于奇数 n>1。

它们也满足关系式

B_n(x+1)-B_n(x)=nx^(n-1)
(23)

（Whittaker 和 Watson 1990，第 127 页）。

对于 x 的有理数值，对于正整数 n，B_n(x) 可以用伯努利数和欧拉数表示，例如

B_n(1)=(-1)^nB_n
(24)
B_n(1/2)=(2^(1-n)-1)B_n
(25)
B_n(1/4)=-2^(-n)(1-2^(1-n))B_n-4^(-n)nE_(n-1)
(26)
B_(2n)(1/3)=-1/2(1-3^(1-2n))B_(2n)
(27)
B_(2n)(1/6)=1/2(1-2^(1-2n))(1-3^(1-2n))B_(2n).
(28)

伯努利 (1713) 根据连续整数的幂之和定义了多项式，

sum_(k=0)^(m-1)k^(n-1)=1/n[B_n(m)-B_n(0)].
(29)

伯努利多项式满足递推关系

(dB_n)/(dx)=nB_(n-1)(x)
(30)

（Appell 1882），并服从恒等式

B_n(x)=(B+x)^n,
(31)

其中 B^k 被解释为伯努利数 B_k=B_k(0)。另一个相关恒等式是

B_n=(B-x)^n,
(32)

其中 B^k 被解释为伯努利多项式 B_k(x)。

Hurwitz 给出了傅里叶级数

B_n(x)=-(n!)/((2pii)^n)sum^'_(k=-infty)^inftyk^(-n)e^(2piikx),
(33)

对于 0<x<1，其中求和中的撇号表示项 k=0 被省略。执行求和得到

B_n(x)=-(n!)/((2pii)^n)[(-1)^nLi_n(e^(-2piix))+Li_n(e^(2piix))],
(34)

其中 Li_n(x) 是多对数函数。Raabe (1851) 发现

1/msum_(k=0)^(m-1)B_n(x+k/m)=m^(-n)B_n(mx).
(35)

涉及伯努利多项式的求和恒等式是

sum_(k=0)^m(m; k)B_k(alpha)B_(m-k)(beta) =-(m-1)B_m(alpha+beta)+m(alpha+beta-1)B_(m-1)(alpha+beta)
(36)

对于m 一个整数。S. M. Ruiz 提出的求和恒等式是

sum_(k=0)^n(-1)^(k+n)(n; k)B_n(k)=n!,
(37)

其中 (n; k) 是一个二项式系数。伯努利多项式也由以下公式给出

B_n(x)=B_n(0)+sum_(k=1)^nn/kS(n-1,k-1)(x)_k,
(38)

其中 S(n,m) 是第二类斯特林数，(x)_k 是一个降阶乘（Roman 1984，第 94 页）。一个通用恒等式由下式给出

(n)_mx^(n-m)=sum_(k=m)^n((n)_k)/((k-m+1)!)B_(n-k)(x),
(39)

它简化为

nx^(n-1)=sum_(k=1)^n(n; k)B_(n-k)(x)
(40)

（Roman 1984，第 97 页）。Gosper 给出了恒等式

sum_(j=0)^i([2(i-j)-1]3^(2j)(2^((2j+1))+1)B_(2(i-j))B_(2j+1)(1/3))/([2(i-j)]!(2j+1)!) =(2i·3^(2(i-1))(2^(2i-1)+1)B_(2i-1)(1/3)-(i-1/2)B_(2i))/((2i)!).
(41)

伯努利多项式的推广 B_n^((alpha))(x) 可以定义为使得 B_n(x)=B_n^((1))(x) （Roman 1984，第 93 页）。这些多项式具有母函数

e^(zt)(t/(e^t-1))^alpha=sum_(n=0)^inftyB_n^((alpha))(z)(t^n)/(n!),
(42)

并在 Wolfram 语言 中实现为NorlundB[n, alpha, z]。

参见

伯努利数, 第二类伯努利多项式, 欧拉-麦克劳林积分公式, 欧拉多项式, 诺伦德多项式

相关 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/Polynomials/BernoulliB2/

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编辑)。 "伯努利多项式、欧拉多项式和欧拉-麦克劳林公式。" §23.1 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 纽约：Dover，第 804-806 页，1972 年。Appell, P. E. "关于一类多项式。" Annales d'École Normal Superieur, Ser. 2 9, 119-144, 1882.Arfken, G. 物理学家数学方法，第 3 版。 奥兰多，佛罗里达州：Academic Press，第 330 页，1985 年。Bernoulli, J. 猜想术。 巴塞尔，瑞士，第 97 页，1713 年。死后出版。Euler, L. "求和级数的一般方法。" Comment. Acad. Sci. Petropol. 6, 68-97, 1738.Lehmer, D. H. "伯努利多项式的新方法。" Amer. Math. Monthly. 95, 905-911, 1988.Lucas, E. 第 14 章 in 数论。 巴黎，1891 年。Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; 和 Brychkov, Yu. A. "广义 Zeta 函数 zeta(s,x)，伯努利多项式 B_n(x)，欧拉多项式 E_n(x)，和多对数 Li_nu(x)。" §1.2 in 积分与级数，第 3 卷：更多特殊函数。 纽瓦克，新泽西州：Gordon and Breach，第 23-24 页，1990 年。Raabe, J. L. "将一些和与定积分归结为雅各布·伯努利函数。" J. reine angew. Math. 42, 348-376, 1851.Roman, S. "伯努利多项式。" §4.2.2 in Umbral 计算。 纽约：Academic Press，第 93-100 页，1984 年。Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "伯努利多项式 B_n(x)。" 第 19 章 in 函数图集。 华盛顿特区：Hemisphere，第 167-173 页，1987 年。Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 现代分析教程，第 4 版。 剑桥，英国：剑桥大学出版社，1990 年。

在 Wolfram|Alpha 中引用

伯努利多项式

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "伯努利多项式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BernoulliPolynomial.html

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