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雅可比 Theta 函数

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雅可比 theta 函数是 指数函数的椭圆模拟，可用于表达 雅可比椭圆函数。theta 函数是准双周期函数，在现代文献中最常见的表示方法是 theta_n(z,q)，尽管有时也使用符号 Theta_n(z,q) 和 theta_n(z,q) (Borwein 和 Borwein 1987)。Whittaker 和 Watson (1990, p. 487) 给出了一个表格，总结了早期作家使用的符号。

theta 函数在 Wolfram 语言中由下式给出EllipticTheta[n, z, q]，它们的导数由下式给出EllipticThetaPrime[n, z, q]。

理想气体的平动配分函数可以使用椭圆 theta 函数推导出来（Golden 1961, pp. 119 和 133；Melzak 1973, p. 122；Levine 2002, p. 838）。

theta 函数可以用 nome q 表示，记为 theta_n(z,q)，或用 半周期比 tau 表示，记为 theta_n(z|tau)，其中 |q|<1 且 q 和 tau 的关系为

q=e^(ipitau).
(1)

设 多值函数 q^lambda 被解释为代表 e^(lambdapiitau)。那么对于复数 z，雅可比 theta 函数定义为

theta_1(z,q)=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^(n-1/2)q^((n+1/2)^2)e^((2n+1)iz)
(2)
theta_2(z,q)=sum_(n=-infty)^(infty)q^((n+1/2)^2)e^((2n+1)iz)
(3)
theta_3(z,q)=sum_(n=-infty)^(infty)q^(n^2)e^(2niz)
(4)
theta_4(z,q)=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^(n^2)e^(2niz).
(5)

将双重无限和写成单重无限和，得到稍微不太对称的形式

theta_1(z,q)=2sum_(n=0)^(infty)(-1)^nq^((n+1/2)^2)sin[(2n+1)z]
(6)
=2q^(1/4)sum_(n=0)^(infty)(-1)^nq^(n(n+1))sin[(2n+1)z]
(7)
theta_2(z,q)=2sum_(n=0)^(infty)q^((n+1/2)^2)cos[(2n+1)z]
(8)
=2q^(1/4)sum_(n=0)^(infty)q^(n(n+1))cos[(2n+1)z]
(9)
theta_3(z,q)=1+2sum_(n=1)^(infty)q^(n^2)cos(2nz)
(10)
theta_4(z,q)=1+2sum_(n=1)^(infty)(-1)^nq^(n^2)cos(2nz)
(11)

（Whittaker 和 Watson 1990, pp. 463-464）。显式写出级数得到

theta_1(z,q)=2q^(1/4)sinz-2q^(9/4)sin(3z)+2q^(25/4)sin(5z)+...
(12)
theta_2(z,q)=2q^(1/4)cosz+2q^(9/4)cos(3z)+2q^(25/4)cos(5z)+...
(13)
theta_3(z,q)=1+2qcos(2z)+2q^4cos(4z)+2q^9cos(6z)+...
(14)
theta_4(z,q)=1-2qcos(2z)+2q^4cos(4z)-2q^9cos(6z)+...
(15)

（Borwein 和 Borwein 1987, p. 52；Whittaker 和 Watson 1990, p. 464）。theta_1(z,q) 是 z 的 奇函数，而其他三个是 z 的偶函数。

下表说明了雅可比 theta 函数的准双周期性。

theta_itheta_i(z+pi)/theta_i(z)theta_i(z+taupi)/theta_i(z)
theta_1-1-N
theta_2-1N
theta_31N
theta_41-N

这里，

N=q^(-1)e^(-2iz).
(16)

对于 theta_4 的具体情况，准周期性可以如下建立：

theta_4(z+pi,q)=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^(n^2)e^(2niz)e^(2nipi)
(17)
=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^(n^2)e^(2niz)
(18)
=theta_4(z,q)
(19)
theta_4(z+pitau,q)=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^(n^2)e^(2nipit)e^(2niz)
(20)
=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^(n^2)q^(2n)e^(2niz)
(21)
=-q^(-1)e^(-2iz)sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^(n+1)q^((n+1)^2)q^(2(n+1)iz)
(22)
=-q^(-1)e^(-2iz)sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^(n^2)q^(2niz)
(23)
=-q^(-1)e^(-2iz)theta_4(z,q).
(24)

雅可比 theta 函数可以用彼此表示

theta_1(z,q)=-ie^(iz+piitau/4)theta_4(z+1/2pitau,q)
(25)
theta_2(z,q)=theta_1(z+1/2pi,q)
(26)
theta_3(z,q)=theta_4(z+1/2pi,q)
(27)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 464）。给定自变量的任何雅可比 theta 函数都可以用任意其他两个具有相同自变量的雅可比 theta 函数表示。

函数 theta_3(z,q) 和 theta_4(z,q) 满足恒等式

theta_4(z,q)=theta_3(z,-q).
(28)
JacobiThetaFunctions

定义

theta_i(q)=theta_i(z=0,q)
(29)

为自变量 z=0 的雅可比 theta 函数，如上图所示。那么双重无限和 (◇) 到 (◇) 采取特别简单的形式

theta_1(q)=0
(30)
theta_2(q)=sum_(n=-infty)^(infty)q^((n+1/2)^2)
(31)
=q^(1/4)(2+2q^2+2q^6+2q^(12)+2q^(20)+2q^(30)+...)
(32)
theta_3(q)=sum_(n=-infty)^(infty)q^(n^2)
(33)
=1+2q+2q^4+2q^9+2q^(16)+2q^(25)+...
(34)
theta_4(q)=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^(n^2)
(35)
=1-2q+2q^4-2q^9+2q^(16)-2q^(25)+...
(36)

（OEIS A089800, A000122, 和 A000122；Borwein 和 Borwein 1987, p. 33）。

函数 theta_3(q) 也由下式给出

theta_3(q)=((-q,-q)_infty)/((q,-q)_infty),
(37)

其中 (a;q)_infty 是一个 q-Pochhammer 符号。

函数

theta(x)=sum_(n=-infty)^(infty)e^(-n^2pix)
(38)
=theta_3(0,e^(-pix))
(39)
=theta_3(0|ix)
(40)

有时在数论背景下定义（Davenport 1980, p. 62）。类似地，函数

psi(x)=sum_(n=1)^(infty)e^(-n^2pix)
(41)
=1/2[theta_3(0,e^(-pix))-1]
(42)

有时也定义（Edwards 2001, p. 15）。此函数满足

(1+2psi(x))/(1+2psi(x^(-1)))=1/(sqrt(x))
(43)

（Jacobi 1828；Riemann 1859；Edwards 2001, p. 15），Jacobi 将其归因于泊松，并遵循 泊松求和公式。也满足恒等式

1/2+psi(1)+4psi^'(1)=0
(44)

（Edwards 2001, p. 17）。

特殊值包括

theta_3(e^(-pi))=(pi^(1/4))/(Gamma(3/4)) theta_3(e^(-pisqrt(2)))=(Gamma(9/8))/(Gamma(5/4))sqrt((Gamma(1/4))/(2^(1/4)pi)) theta_3(e^(-pisqrt(6))) =[-(Gamma(1/(24))Gamma(5/(24))Gamma(7/(24))Gamma((11)/(24)))/(16sqrt(6)(-18-12sqrt(2)+10sqrt(3)+7sqrt(6))pi^3)]^(1/4) theta_4(-e^(-pi))=(pi^(1/4))/(Gamma(3/4)) theta_4(e^(-pi))=(pi^(1/4))/(2^(1/4)Gamma(3/4))
(45)

和

(theta_2(-e^(-pisqrt(3))))/(theta_3(-e^(-pisqrt(3))))=(4sqrt(3)-7)^(1/4),
(46)

其中 Gamma(z) 是 伽玛函数，其中大多数是 拉马努金 theta 函数的特殊情况。

O. Marichev（私人通信，2008 年 7 月）给出的特殊导数值为

theta_4^'(e^(-pi))=-(e^pi[pi^2-2Gamma^4(3/4)])/(8·2^(1/4)pi^(3/4)Gamma^5(3/4)).
(47)
JacobiThetaZQ

上面的图显示了雅可比 theta 函数作为自变量 z 和 nome q 的函数绘制的图，限制为实数值。

JacobiTheta1
JacobiTheta2
JacobiTheta3
JacobiTheta4

通过检查固定 z 在复平面中对于 |q|<1 的 theta_i(z,q) 的 实部和 虚部，可以获得特别漂亮的图，如上图所示。

雅可比 theta 函数满足几乎令人眼花缭乱的大量恒等式，这些恒等式涉及四个函数、它们的导数、自变量的倍数和自变量的和。Whittaker 和 Watson (1990) 给出的不寻常恒等式包括

theta_3(z,q)=theta_3(2z,q^4)+theta_2(2z,q^4)
(48)
theta_4(z,q)=theta_3(2z,q^4)-theta_2(2z,q^4)
(49)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 464）和

(theta_k^'(z+pi))/(theta_k(z+pi))=(theta_k^'(z))/(theta_k(z))
(50)
(theta_k^'(z+pitau))/(theta_k(z+pitau))=-2i+(theta_k^'(z))/(theta_k(z))
(51)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 465），对于 k=1, ..., 4，其中 theta_k(z)=theta_k(z,q) 和 theta_i=theta_i(0,q)。涉及雅可比 theta 函数平方的一类恒等式是

theta_1^2(z)theta_4^2=theta_3^2(z)theta_2^2-theta_2^2(z)theta_3^2
(52)
theta_2^2(z)theta_4^2=theta_4^2(z)theta_2^2-theta_1^2(z)theta_3^2
(53)
theta_3^2(z)theta_4^2=theta_4^2(z)theta_3^2-theta_1^2(z)theta_2^2
(54)
theta_4^2(z)theta_4^2=theta_3^2(z)theta_3^2-theta_2^2(z)theta_2^2
(55)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 466）。在 (55) 中取 z=0 得到特殊情况

theta_4^4=theta_3^4-theta_2^4,
(56)

这是此类型的唯一恒等式。

此外，

theta_3^2(x)=1+4(x/(1-x)-(x^3)/(1-x^3)+(x^5)/(1-x^5)-(x^7)/(1-x^7)+...)
(57)
theta_3^4(x)=1+8(x/(1-x)+(2x^2)/(1+x^2)+(3x^3)/(1-x^3)+(4x^4)/(1+x^4)+...).
(58)

雅可比 theta 函数遵循加法规则，例如

theta_1(y+z)theta_1(y-z)theta_4^2=theta_3^2(y)theta_2^2(z)-theta_2^2(y)theta_3^2(z)
(59)
=theta_1^2(y)theta_4^2(z)-theta_4^2(y)theta_1^2(z)
(60)
theta_2(y+z)theta_2(y-z)theta_4^2=theta_4^2(y)theta_2^2(z)-theta_1^2(y)theta_3^2(z)
(61)
=theta_2^2(y)theta_4^2(y)-theta_3^2(y)theta_1^2(z)
(62)
theta_3(y+z)theta_3(y-z)theta_4^2=theta_4^2(y)theta_3^2(z)-theta_1^2(y)theta_2^2(z)
(63)
=theta_3^2(y)theta_4^2(z)-theta_2^2(y)theta_1^2(z)
(64)
theta_4(y+z)theta_4(y-z)theta_4^2=theta_3^2(y)theta_3^2(z)-theta_2^2(y)theta_2^2(z)
(65)
=theta_4^2(y)theta_4^2(z)-theta_1^2(y)theta_1^2(z)
(66)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 487），

theta_3(y+z)theta_3(y-z)theta_2^2=theta_3^2(y)theta_2^2(z)+theta_4^2(y)theta_1^2(z)
(67)
=theta_2^2(y)theta_3^2(z)+theta_1^2(y)theta_4^2(z)
(68)
theta_3(y+z)theta_3(y-z)theta_3^2=theta_1^2(y)theta_1^2(z)+theta_3^2(y)theta_3^2(z)
(69)
=theta_2^2(y)theta_2^2(z)+theta_4^2(y)theta_4^2(z)
(70)
theta_4(y+z)theta_4(y-z)theta_2^2=theta_4^2(y)theta_2^2(z)+theta_3^2(y)theta_1^2(z)
(71)
=theta_2^2(y)theta_4^2(z)+theta_1^2(y)theta_3^2(z)
(72)
theta_4(y+z)theta_4(y-z)theta_3^2=theta_4^2(y)theta_3^2(z)+theta_2^2(y)theta_1^2(z)
(73)
=theta_3^2(y)theta_4^2(z)+theta_1^2(y)theta_2^2(z)
(74)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 488），和

theta_1(y+/-z)theta_2(y∓z)theta_3theta_4 =theta_1(y)theta_2(y)theta_3(z)theta_4(z)+/-theta_3(y)theta_4(y)theta_1(z)theta_2(z) theta_1(y+/-z)theta_3(y∓z)theta_2theta_4 =theta_1(y)theta_3(y)theta_2(z)theta_4(z)+/-theta_2(y)theta_4(y)theta_1(z)theta_3(z) theta_1(y+/-z)theta_4(y∓z)theta_2theta_3 =theta_1(y)theta_4(y)theta_2(z)theta_3(z)+/-theta_2(y)theta_3(y)theta_1(z)theta_4(z) theta_2(y+/-z)theta_3(y∓z)theta_2theta_3 =theta_2(y)theta_3(y)theta_2(z)theta_3(z)∓theta_1(y)theta_4(y)theta_1(z)theta_4(z) theta_2(y+/-z)theta_4(y∓z)theta_2theta_4 =theta_2(y)theta_4(y)theta_2(z)theta_4(z)∓theta_1(y)theta_3(y)theta_1(z)theta_3(z) theta_3(y+/-z)theta_4(y∓z)theta_3theta_4 =theta_3(y)theta_4(y)theta_3(z)theta_4(z)∓theta_1(y)theta_2(y)theta_1(z)theta_2(z)
(75)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 488）。

还有一系列 倍角公式

theta_3(2z)theta_3^3=theta_3^4(z)+theta_1^4(z)
(76)
theta_2(2z)theta_2theta_4^2=theta_2^2(z)theta_4^2(z)-theta_1^2(z)theta_3^2(z)
(77)
theta_3(2z)theta_3theta_4^2=theta_3^2(z)theta_4^2(z)-theta_1^2(z)theta_2^2(z)
(78)
theta_4(2z)theta_4^3=theta_3^4(z)-theta_2^4(z)
(79)
=theta_4^4(z)-theta_1^4(z)
(80)
theta_1(2z)theta_2theta_3theta_4=2theta_1(z)theta_2(z)theta_3(z)theta_4(z)
(81)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 488）。

雅可比 theta 函数导数与函数本身的比率具有简单的形式

(theta_1^'(z))/(theta_1(z))=cotz+4sum_(n=1)^(infty)(q^(2n))/(1-q^(2n))sin(2nz)
(82)
=cotz+4sum_(n=1)^(infty)(q^(2n)sin(2z))/(q^(4n)-2q^(2n)cos(2z)+1)
(83)
(theta_2^'(z))/(theta_2(z))=-tanz+4sum_(n=1)^(infty)(-1)^n(q^(2n))/(1-q^(2n))sin(2nz)
(84)
=-tanz-4sum_(n=1)^(infty)(q^(2n)sin(2z))/(q^(4n)+2q^(2n)cos(2z)+1)
(85)
(theta_3^'(z))/(theta_3(z))=4sum_(n=1)^(infty)(-1)^n(q^n)/(1-q^(2n))sin(2nz)
(86)
=-4sum_(n=1)^(infty)(q^(2n-1)sin(2z))/(2q^(2n-1)cos(2z)+q^(4n-2)+1)
(87)
(theta_4^'(z))/(theta_4(z))=4sum_(n=1)^(infty)(q^(2n-1)sin(2z))/(1-2q^(2n-1)cos(2z)+q^(4n-2))
(88)
=4sum_(n=1)^(infty)(q^nsin(2nz))/(1-q^(2n))
(89)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 489）。

雅可比 theta 函数可以用乘积而不是和来表示，如下所示

theta_1(z)=2Gq^(1/4)sinzproduct_(n=1)^(infty)[1-2q^(2n)cos(2z)+q^(4n)]
(90)
theta_2(z)=2Gq^(1/4)coszproduct_(n=1)^(infty)[1+2q^(2n)cos(2z)+q^(4n)]
(91)
theta_3(z)=Gproduct_(n=1)^(infty)[1+2q^(2n-1)cos(2z)+q^(4n-2)]
(92)
theta_4(z)=Gproduct_(n=1)^(infty)[1-2q^(2n-1)cos(2z)+q^(4n-2)],
(93)

其中

G=product_(n=1)^infty(1-q^(2n))
(94)

（Whittaker 和 Watson 1990, pp. 469-470）。

Zucker (1990) 给出了额外的漂亮乘积（“欧拉”）形式，部分总结在下表中，其中

(n)=product_(k=1)^infty(1-q^(kn))
(95)

且 q-乘积写为 w=Q_0, x=Q_1, y=Q_2, 和 z=Q_3。

theta 函数OEIS欧拉型雅可比型
theta_3(q)A000122((2)^5)/((1)^2(4)^2)wz^2
theta_4(q)A002448((1)^2)/((2))wy^2
theta_4(q^2)A089798((2)^2)/((4))wyz
theta_2(q^(1/2))A0897992q^(1/8)((2)^2)/((1))2q^(1/8)wxz
theta_2(q)A0898002q^(1/4)((4)^2)/((2))2q^(1/4)wx^2
1/2[theta_3(q^(1/3))-theta_3(q^3)]A089801q^(1/3)((2)^2(3)(12))/((1)(4)(6))q^(1/3)z|wxy|q^3
1/2[theta_4(q^3)-theta_4(q^(1/3))]A089802q^(1/3)((1)(6)^2)/((2)(3))q^(1/3)y|wxz|q^3
1/2[theta_4(q^6)-theta_4(q^(2/3))]A089805q^(2/3)((2)(12)^2)/((4)(6))q^(2/3)yz|wx^2|q^3
1/2[theta_2(q^(1/6))-theta_2(q^(3/2))]A080995q^(1/24)((2)(3)^2)/((1)(6))q^(1/24)xz|wy^2|q^3
1/2[theta_2(q^(1/3))-theta_2(q^3)]A089806q^(1/12)((4)(6)^2)/((2)(12))q^(1/12)x|wyz|q^3
1/2[3theta_3(q^9)-theta_3(q)]A089807((1)(4)(6)^2)/((2)(3)(12))wxy|z|q^3
1/2[3theta_4(q^9)-theta_4(q)]A089810((2)^2(3))/((1)(6))wxz|y|q^3
1/2[3theta_4(q^(18))-theta_4(q^2)]A089811((4)^2(6))/((2)(12))wx^2|yz|q^3
1/2[theta_2(q^(1/2))-3theta_2(q^(9/2))]A089812q^(1/8)((1)^2(6))/((2)(3))q^(1/8)wy^2|xz|q^3
1/2[theta_2(q)-3theta_2(q^9)]A089813q^(1/4)((2)^2(12))/((4)(6))q^(1/4)wyz|x|q^3

其他恒等式包括

theta_4(q)=(2)product_(k=1)^(infty)(1-q^(2k-1))^2
(96)
theta_4^3(q)=((1)^4)/((2))product_(k=1)^(infty)(1-q^(2k-1))^2.
(97)

这里，

product_(k=1)^infty(1-q^(2k-1))^2=1-2q+q^2-2q^3+4q^4+...
(98)

（OEIS A022597）。

雅可比 theta 函数满足 偏微分方程

1/4pii(partial^2y)/(partialz^2)+(partialy)/(partialtau)=0,
(99)

其中 y=theta_j(z|tau)。分母中带有 theta_4 的雅可比 theta 函数的比率也满足微分方程

d/(dz)[(theta_1(z))/(theta_4(z))]=theta_4^2(theta_2(z)theta_3(z))/(theta_4^2(z))
(100)
d/(dz)[(theta_2(z))/(theta_4(z))]=-theta_3^2(theta_1(z)theta_3(z))/(theta_4^2(z))
(101)
d/(dz)[(theta_3(z))/(theta_4(z))]=-theta_2^2(theta_1(z)theta_2(z))/(theta_4^2(z)).
(102)

雅可比虚数变换用 theta_i(z|tau) 表示 theta_i(z/tau|-1/tau)。存在大量漂亮的恒等式，涉及自变量为 w、x、y 和 z 以及 w^'、x^'、y^' 和 z^' 的雅可比 theta 函数，它们通过下式相关联

2w^'=-w+x+y+z
(103)
2x^'=w-x-y+z
(104)
2y^'=w+x-y+z
(105)
2z^'=w+x+y-z
(106)

（Whittaker 和 Watson 1990, pp. 467-469, 488, 和 490）。使用符号

theta_i(w+pi/2,q)theta_j(x+pi/2,q)theta_k(y,q)theta_l(z,q)=[ijkl]
(107)
theta_i(w^',q)theta_j(x^',q)theta_k(y^'+pi/2,q)theta_l(z^'+pi/2,q)=ijkl,
(108)

得到多达 288 个形式的恒等式

+/-[a_1a_2a_3a_4]+/-[b_1b_2b_3b_4]=+/-a_1^'a_2^'a_3^'a_4^'+/-b_1^'b_2^'b_3^'b_4^'.
(109)

第一类和第二类完全 椭圆积分可以使用雅可比 theta 函数表示。设

xi=(theta_1(z))/(theta_4(z)),
(110)

并代入 (◇)

((dxi)/(dz))^2=(theta_2^2-xi^2theta_3^2)(theta_3^2-xi^2theta_2^2).
(111)

现在写

xi(theta_3)/(theta_2)=y
(112)

和

ztheta_3^2=u.
(113)

则

((dy)/(du))^2=(1-y^2)(1-k^2y^2),
(114)

其中 椭圆模量定义为

k=k(q)=(theta_2^2(q))/(theta_3^2(q)).
(115)

也定义互补 椭圆模量

k^'=k^'(q)=(theta_4^2(-q))/(theta_3^2(q)).
(116)

现在，由于

theta_2^4+theta_4^4=theta_3^4,
(117)

我们已经证明

k^2+k^('2)=1.
(118)

方程的解是

y=(theta_3)/(theta_2)(theta_1(utheta_3^(-2)|tau))/(theta_4(utheta_3^(-2)|tau))=sn(u,k),
(119)

这是一个周期为 雅可比椭圆函数

4K(k)=2pitheta_3^2(q)
(120)

和

2iK^'(k)=pitautheta_3^2(q).
(121)

设 K(k) 是模量为 k 的 第一类完全椭圆积分，则

theta_2^2(q)=(2kK(k))/pi
(122)
theta_3^2(q)=(2K(k))/pi
(123)
theta_4^2(q)=(2k^'K(k))/pi,
(124)

其中 k^'=sqrt(1-k^2) 是 互补模量。

雅可比 theta 函数为数学和数学物理学中的许多棘手问题提供了解析解。例如，雅可比 theta 函数与 平方和函数 r_2(n) 相关，后者给出了 n 由两个平方表示的表示数，通过

theta_3^2(q)=sum_(n=0)^(infty)r_2(n)q^n
(125)
theta_4^2(q)=sum_(n=0)^(infty)(-1)^nr_2(n)q^n
(126)

（Borwein 和 Borwein 1987, p. 34）。一般的 五次方程可以用雅可比 theta 函数求解，这些函数还为矩形区域的 格林函数提供了均匀收敛的形式（Oberhettinger 和 Magnus 1949）。

最后，雅可比 theta 函数可以用于 单值化 所有 椭圆曲线。雅可比椭圆函数也可以用于单值化某些超椭圆曲线，尽管只知道两个这样的例子。经典例子是 伯恩赛德曲线，第二个是由 Farkas 和 Kra 在 1995 年左右发现的。

另请参阅

Blecksmith-Brillhart-Gerst 定理, 戴德金 eta 函数, 椭圆函数, 半周期比, 雅可比椭圆函数, 雅可比虚数变换, 雅可比三重积, 兰登公式, Mock Theta 函数, 模方程, 莫代尔积分, 内维尔 Theta 函数, Nome, 五边形数定理, 庞加莱-福克斯-克莱因自守函数, 五重积恒等式, 拉马努金 Theta 函数, 施罗特公式, 平方和函数, 韦伯函数

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参考文献

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雅可比 Theta 函数

请引用为

Weisstein, Eric W. “雅可比 Theta 函数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/JacobiThetaFunctions.html

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