设 
, 并记作
 |
(1)
|
然后通过 生成函数 定义 
 |
(2)
|
生成函数 也可以写成
![f(x,w)=(1-2xw+w^2)^(-1/2)exp[(ax+b)sum_(m=1)^infty(w^m)/mU_(m-1)(x)],](/images/equations/PollaczekPolynomial/NumberedEquation3.svg) |
(3)
|
其中 
是 第二类切比雪夫多项式。
Pollaczek 多项式满足递推关系
![nP_n(x;a,b)=[(2n-1+2a)x+2b]P_(n-1)(x;a,b)-(n-1)P_(n-2)(x;a,b)](/images/equations/PollaczekPolynomial/NumberedEquation4.svg) |
(4)
|
对于 
, 3, ...，其中
 |  |  |
(5)
|
 |  |  |
(6)
|
用 超几何函数 
表示：
 |
(7)
|
它们服从正交关系
![int_(-1)^1P_n(x;a,b)P_m(x;a,b)w(x;a,b)dx=[n+1/2(a+1)]^(-1)delta_(nm),](/images/equations/PollaczekPolynomial/NumberedEquation6.svg) |
(8)
|
其中 
是 克罗内克 delta，对于 
, 1, ...，具有权重函数
![w(costheta;a,b)=e^((2theta-pi)h(theta)){cosh[pih(theta)]}^(-1).](/images/equations/PollaczekPolynomial/NumberedEquation7.svg) |
(9)
|
Pollaczek 多项式
使用 Wolfram|Alpha 探索
参考文献
Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 393-400, 1975.在 Wolfram|Alpha 中被引用
Pollaczek 多项式请引用为
Weisstein, Eric W. "Pollaczek Polynomial." 来自 MathWorld-- Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/PollaczekPolynomial.html