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克拉夫丘克多项式

设 alpha(x) 为一个 阶跃函数，其在 跳跃

j(x)=(N; x)p^xq^(N-x)
(1)

于 x=0, 1, ..., N 处，其中 p>0,q>0，且 p+q=1。则克拉夫丘克多项式定义为

k_n^((p))(x,N)=sum_(nu=0)^(n)(-1)^(n-nu)(N-x; n-nu)(x; nu)p^(n-nu)q^nu,
(2)
=(-1)^n(N; n)p^n_2F_1(-n,-x;-N;1/p)
(3)
=((-1)^np^n)/(n!)(Gamma(N-x+1))/(Gamma(N-x-n+1))×_2F_1(-n,-x;N-x-n+1;(p-1)/p).
(4)

对于 n=0, 1, ..., N。前几个克拉夫丘克多项式为

k_0^((p))(x,N)=1
(5)
k_1^((p))(x,N)=-Np+x
(6)
k_2^((p))(x,N)=1/2[N^2p^2+x(2p+x-1)-Np(p+2x)].
(7)

Koekoek 和 Swarttouw (1998) 将克拉夫丘克多项式定义为没有前导系数的形式：

K_n(x;p,N)=_2F_1(-n,-x;-N;1/p).
(8)

克拉夫丘克多项式具有 权函数

w=(N!p^xq^(N-x))/(Gamma(1+x)Gamma(N+1-x)),
(9)

其中 Gamma(x) 是 伽玛函数，递推关系

(n+1)k_(n+1)^((p))(x,N)+pq(N-n+1)k_(n-1)^((p))(x,N) =[x-n-(N-2)]k_n^((p))(x,N),
(10)

以及平方范数

(N!)/(n!(N-n)!)(pq)^n.
(11)

它具有极限

lim_(N->infty)(2/(Npq))^(n/2)n!k_n^((p))(Np+sqrt(2Npq)s,N)=H_n(s),
(12)

其中 H_n(x) 是 埃尔米特多项式。

克拉夫丘克多项式是 第一类梅克斯纳多项式 的特例。

参见

汉明方案, 第一类梅克斯纳多项式, 正交多项式

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Koekoek, R. 和 Swarttouw, R. F. "克拉夫丘克." §1.10 在 超几何正交多项式的 Askey 格式及其 q-类似物。 荷兰代尔夫特：代尔夫特理工大学，技术数学与信息学学院报告 98-17，第 46-47 页，1998 年。Koepf, W. 超几何求和：求和与特殊函数恒等式的算法方法。 德国不伦瑞克：Vieweg，第 115 页，1998 年。Nikiforov, A. F.; Uvarov, V. B.; 和 Suslov, S. S. 离散变量的经典正交多项式。 纽约：施普林格出版社，1992 年。Schrijver, A. "Delsarte 和 Lovász 界限的比较。" IEEE Trans. Inform. Th. 25, 425-429, 1979 年。Szegö, G. 正交多项式，第 4 版。 普罗维登斯，罗德岛州：美国数学会，第 35-37 页，1975 年。Zelenkov, V. "克拉夫丘克多项式主页。" http://www.geocities.com/orthpol/.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

克拉夫丘克多项式

引用为

Weisstein, Eric W. "克拉夫丘克多项式。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/KrawtchoukPolynomial.html

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