二次方程

二次方程是关于单个变量 的二阶多项式方程

其中 。 因为它是二阶多项式方程，代数基本定理保证它有两个解。 这些解可能都是实数，或者都是复数。

在吉尔伯特和沙利文的轻歌剧《彭赞斯的海盗》中，斯坦利少将以其对二次方程的知识给海盗们留下了深刻印象，这体现在“少将之歌”中，歌词如下：“我是现代少将的典范，我掌握植物、动物和矿物的信息，我知道英国国王，我能引述历史战役，从马拉松到滑铁卢，按类别排序；我也非常熟悉数学问题，我理解方程，包括简单方程和二次方程，关于二项式定理，我充满了大量新知识——以及关于斜边平方的许多令人愉快的事实。”

根 可以通过配方法找到，

求解 得到

这个方程被称为二次公式。

已知最早的二次方程解法是埃及中王国时期（约公元前 2160-1700 年）的柏林纸草书中给出的解法。 这个问题可以简化为求解

(Smith 1953, p. 443)。 希腊人能够用几何方法解二次方程，欧几里得（约公元前 325-270 年）的《已知数》包含了三个涉及二次方程的问题。 在他的著作《算术》中，希腊数学家丢番图（约公元 210-290 年）解了二次方程，但即使两个根都是正数，也只给出一个根 (Smith 1951, p. 134)。

许多印度数学家给出了等同于二次公式的规则。 公元前 500 年左右的某些祭坛建筑可能代表了方程的解，但即使是这种情况，也没有关于解法的记录 (Smith 1953, p. 444)。 印度数学家阿耶波多（475 或 476-550）给出了等比数列求和的规则，表明他了解具有两个解的二次方程 (Smith 1951, p. 159; Smith 1953, p. 444)，而婆罗摩笈多（约 628 年）似乎只考虑了其中一个解 (Smith 1951, p. 159; Smith 1953, pp. 444-445)。 同样，摩诃毗罗（约 850 年）基本上掌握了现代的二次方程正根规则。 斯里达拉（约 1025 年）给出了二次公式的正根，正如婆什迦罗（约 1150 年；Smith 1953, pp. 445-446）所述。 波斯数学家花拉子米（约 825 年）和奥马尔·海亚姆（约 1100 年）也给出了求正根的规则。

韦达是最早用解析方法代替几何方法求解的人之一，尽管他显然没有掌握一般二次方程的思想 (Smith 1953, pp. 449-450)。

二次方程的另一种形式是通过将 (◇) 除以 得到

因此，

如果 ，则此形式很有用，其中 表示远大于，在这种情况下，常用形式的二次公式可能会为一个根给出不准确的数值结果。 这可以通过定义来避免

这样 和平方根符号下的项始终具有相同的符号。 现在，如果 ，则

所以

同样，如果 ，则

所以

因此，根始终由 和 给出。

现在考虑以形式表示的方程

解为 和 。 这些解满足韦达定理

韦达定理中出现的对称多项式的性质然后给出

给定一个二次整系数多项式 ，考虑对于从某个整数集合 中取出的 和 ，有多少个这样的多项式可以在整数上因式分解。 例如，对于 ，有四个这样的多项式，

下表总结了对于简单的 和小的 ，此类可因式分解多项式的计数。 上图还展示了 （红色）、（蓝色）和 （绿色）的可因式分解多项式分数的图。 令人惊讶的是，[-n,n] 的序列具有递推方程

其中 是 的除数个数， 是平方数的特征函数。