不可约多项式

如果一个多项式不能在同一个域上分解成非平凡多项式的乘积，则称该多项式是不可约的。

例如，在有理系数多项式 的域中（即，系数为有理数的 多项式）， 被称为不可约的，如果不存在两个非常数多项式 和 在 中，且系数为有理数，使得

（Nagell 1951, p. 160）。类似地，在有限域 GF(2) 中， 是不可约的，但 不是，因为 (mod 2)。

不可约多项式检查在 Wolfram 语言 中实现为IrreduciblePolynomialQ[poly].

一般来说， 次不可约多项式在有限域 GF() 上的数量由下式给出：

其中 是莫比乌斯函数。

GF(2) 上 次不可约多项式的数量等于 珠子固定非周期性双色项链的数量和长度为 的二进制 Lyndon 词的数量。前几个不可约多项式（mod 2）的数量，对于 , 2, ... 分别是 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, ... （OEIS A001037）。下表列出了 1 到 5 次的不可约多项式（mod 2）。

	不可约多项式
1	,
2
3	,
4	, ,
5	, , , , ,

在有限域 GF(2) 上， 次不可约多项式的可能的多项式阶数，按升序排列如下：1; 3; 7; 5, 15; 31; 9, 21, 63; 127; 17, 51, 85, 255; 73, 511; ... （OEIS A059912）。