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超几何函数

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一个 广义超几何函数 _pF_q(a_1,...,a_p;b_1,...,b_q;x) 是可以定义为 超几何级数 形式的函数，即，一个级数，其连续项的比率可以写成

(c_(k+1))/(c_k)=(P(k))/(Q(k))=((k+a_1)(k+a_2)...(k+a_p))/((k+b_1)(k+b_2)...(k+b_q)(k+1))x.
(1)

（k+1 在分母中的因子是出于历史符号的原因。）

对应于 _2F_1(a,b;c;x)，其中 p=2，q=1 的函数是第一个被研究的超几何函数（并且通常在物理问题中最常见），因此经常被称为“超几何方程”，或者更明确地说是高斯超几何函数（Gauss 1812, Barnes 1908）。更令人困惑的是，术语“超几何函数”较少用于表示 闭合形式，而“超几何级数”有时用于表示超几何函数。

超几何函数是 超几何微分方程的解，该方程在原点处有一个正则奇点。要从超几何微分方程推导出超几何函数

z(1-z)y^('')+[c-(a+b+1)z]y^'-aby=0,
(2)

使用弗罗贝尼乌斯方法将其简化为

sum_(n=0)^infty{(n+1)(n+c)A_(n+1)-[n^2+(a+b)n+ab]A_n}z^n=0,
(3)

得到指标方程

A_(n+1)=((n+a)(n+b))/((n+1)(n+c))A_n.
(4)

将其代入试探解级数

y=sum_(n=0)^inftyA_nz^n
(5)

然后给出解

y=A_0[1+(ab)/(1!c)z+(a(a+1)b(b+1))/(2!c(c+1))z^2+...].
(6)

这是所谓的正则解，表示为

_2F_1(a,b;c;z)=1+(ab)/(1!c)z+(a(a+1)b(b+1))/(2!c(c+1))z^2+...
(7)
=sum_(n=0)^(infty)((a)_n(b)_n)/((c)_n)(z^n)/(n!),
(8)

如果 c 不是负整数 (1) 对于所有的 |z|<1，并且 (2) 在单位圆 |z|=1 上，如果 R[c-a-b]>0。这里，(a)_n 是一个 波赫哈默尔符号。

超几何微分方程的完整解是

y=A_2F_1(a,b;c;z)+Bz^(1-c)_2F_1(a+1-c,b+1-c;2-c;z).
(9)

对于任意 a, b 和 c，超几何级数对于 实数 -1<z<1 收敛，并且对于 z=+/-1，如果 c>a+b。

_2F_1(a,b;c;z) 的导数由下式给出

(d_2F_1(a,b;c;z))/(dz)=(ab)/c_2F_1(a+1,b+1;c+1;z)
(10)
(d^2_2F_1(a,b;c;z))/(dz^2)=(a(a+1)b(b+1))/(c(c+1))_2F_1(a+2,b+2;c+2;z)
(11)

（Magnus 和 Oberhettinger 1949, p. 8）。

具有特殊参数的超几何函数可以简化为初等函数，例如，

_2F_1(1,1;1;z)=1/(1-z)
(12)
_2F_1(1,1;2;z)=-(ln(1-z))/z
(13)
_2F_1(1,2;1;z)=1/((1-z)^2)
(14)
_2F_1(1,2;2;z)=1/(1-z).
(15)

给出超几何函数的积分是

_2F_1(a,b;c;z)=(Gamma(c))/(Gamma(b)Gamma(c-b))int_0^1(t^(b-1)(1-t)^(c-b-1))/((1-tz)^a)dt
(16)

正如 Euler 在 1748 年所展示的 (Bailey 1935, pp. 4-5)。Barnes (1908) 给出了轮廓积分

_2F_1(a,b;c;z)=1/(2pii)int_(-iinfty)^(iinfty)(Gamma(a+s)Gamma(b+s)Gamma(-s))/(Gamma(c-s))(-z)^sds,
(17)

其中 |arg(-z)|<pi，并且路径是弯曲的（如果必要），以分隔极点 s=-a-n, s=-b-n, ... (n=0, 1, ...) 与极点 s=0, 1 ... (Bailey 1935, pp. 4-5; Whittaker 和 Watson 1990) 分开。

奇怪的是，在许多非常特殊的点上，超几何函数可以呈现有理数，

_2F_1(1/3,2/3;5/6;(27)/(32))=8/5
(18)
_2F_1(1/4,1/2;3/4;(80)/(81))=9/5
(19)

（M. Trott，私人通信，Aug. 5, 2002；Zucker 和 Joyce 2001），二次無理數

_2F_1(1/8,3/8;1/2;(2400)/(2401))=2/3sqrt(7)
(20)
_2F_1(1/6,1/3;1/2;(25)/(27))=3/4sqrt(3)
(21)

（Zucker 和 Joyce 2001），和其他精确值

_2F_1(1/6,1/2;2/3;(125)/(128))=4/32^(1/6)
(22)
_2F_1(1/(12),5/(12);1/2;(1323)/(1331))=3/4(11)^(1/4)
(23)
_2F_1(1/(12),5/(12);1/2;(121)/(125))=(2^(1/6)(15)^(1/4))/(4sqrt(pi))([Gamma(1/3)]^3)/([Gamma(1/4)]^2)(1+sqrt(3))
(24)

（Zucker 和 Joyce 2001, 2003）。

对于具有有理参数的良好定位的超几何函数，有理值的无限族由下式给出

_kF_(k-1)(1/(k+1),...,k/(k+1);2/k,3/k,...,(k-1)/k,(k+1)/k;((x(1-x^k))/(f_k))^k)=1/(1-x^k)
(25)

对于 k=2, 3, ..., 0<=x<=(k+1)^(-1/k), 和

f_k=k/((1+k)^(1+1/k))
(26)

（M. L. Glasser，私人通信，Sept. 26, 2003）。这给出了特定的恒等式

_2F_1(1/3,2/3;3/2;(27)/4x^2(1-x^2)^2) =(2sin[1/3sin^(-1)(3/2sqrt(3)x(1-x^2))])/(sqrt(3)x(1-x^2)) =1/(1-x^2)
(27)

对于 0<=x<=sqrt(3)/3。

超几何函数可以使用 欧拉的超几何变换 写成

t->t
(28)
t->1-t
(29)
t->(1-z-tz)^(-1)
(30)
t->(1-t)/(1-tz)
(31)

以下四种等价形式中的任何一种

_2F_1(a,b;c;z)=(1-z)^(-a)_2F_1(a,c-b;c;z/(z-1))
(32)
=(1-z)^(-b)_2F_1(c-a,b;c;z/(z-1))
(33)
=(1-z)^(c-a-b)_2F_1(c-a,c-b;c;z)
(34)

（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 559）。

它也可以写成线性组合

_2F_1(a,b;c;z)=(Gamma(c)Gamma(c-a-b))/(Gamma(c-a)Gamma(c-b))_2F_1(a,b;a+b+1-c;1-z) +(Gamma(c)Gamma(a+b-c))/(Gamma(a)Gamma(b))(1-z)^(c-a-b)_2F_1(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)
(35)

（Barnes 1908；Bailey 1935, pp. 3-4；Whittaker 和 Watson 1990, p. 291）。

Kummer 找到了 超几何微分方程 的所有六个解（不一定在原点处正则）

u_1(x)=_2F_1(a,b;c;z)
(36)
u_2(x)=_2F_1(a,b;a+b+1-c;1-z)
(37)
u_3(x)=z^(-a)_2F_1(a,a+1-c;a+1-b;z^(-1))
(38)
u_4(x)=z^(-b)_2F_1(b+1-c,b;b+1-a;z^(-1))
(39)
u_5(x)=z^(1-c)_2F_1(b+1-c,a+1-c;2-c;z)
(40)
u_6(x)=(1-z)^(c-a-b)_2F_1(c-a,c-b;c+1-a-b;1-z)
(41)

（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 563）。

将 欧拉的超几何变换 应用于 Kummer 解，然后给出所有 24 种可能的形式，它们是 超几何微分方程 的解

u_1^((1))(x)=_2F_1(a,b;c;z)
(42)
u_1^((2))(x)=(1-z)^(c-a-b)_2F_1(c-a,c-b;c;z)
(43)
u_1^((3))(x)=(1-z)^(-a)_2F_1(a,c-b;c;z/(z-1))
(44)
u_1^((4))(x)=(1-z)^(-b)_2F_1(c-a,b;c;z/(z-1))
(45)
u_2^((1))(x)=_2F_1(a,b;a+b+1-c;1-z)
(46)
u_2^((2))(x)=z^(1-c)_2F_1(a+1-c,b+1-c;a+b+1-c;1-z)
(47)
u_2^((3))(x)=z^(-a)_2F_1(a,a+1-c;a+b+1-c;1-z^(-1))
(48)
u_2^((4))(x)=z^(-b)_2F_1(b+1-c,b;a+b+1-c;1-z^(-1))
(49)
u_3^((1))(x)=(-z)^(-a)_2F_1(a,a+1-c;a+1-b;z^(-1))
(50)
u_3^((2))(x)=(-z)^(b-c)(1-z)^(c-a-b)_2F_1(1-b,c-b;a+1-b;z^(-1))
(51)
u_3^((3))(x)=(1-z)^(-a)_2F_1(a,c-b;a+1-b;(1-z)^(-1))
(52)
u_3^((4))(x)=(-z)^(1-c)(1-z)^(c-a-1)_2F_1(a+1-c,1-b;a+1-b;(1-z)^(-1))
(53)
u_4^((1))(x)=(-z)^(-b)_2F_1(b+1-c,b;b+1-a;z^(-1))
(54)
u_4^((2))(x)=(-z)^(a-c)(1-z)^(c-a-b)_2F_1(1-a,c-a;b+1-a;z^(-1))
(55)
u_4^((3))(x)=(1-z)^(-b)_2F_1(b,c-a;b+1-a;(1-z)^(-1))
(56)
u_4^((4))(x)=(-z)^(1-c)(1-z)^(c-b-1)_2F_1(b+1-c,1-a;b+1-a;(1-z)^(-1))
(57)
u_5^((1))(x)=z^(1-c)_2F_1(a+1-c,b+1-c;2-c;z)
(58)
u_5^((2))(x)=z^(1-c)(1-z)^(c-a-b)_2F_1(1-a,1-b;2-c;z)
(59)
u_5^((3))(x)=z^(1-c)(1-z)^(c-a-1)_2F_1(a+1-c,1-b;2-c;z/(z-1))
(60)
u_5^((4))(x)=z^(1-c)(1-z)^(c-b-1)_2F_1(b+1-c,1-a;2-c;z/(z-1))
(61)
u_6^((1))(x)=(1-z)^(c-a-b)_2F_1(c-a,c-b;c+1-a-b;1-z)
(62)
u_6^((2))(x)=z^(1-c)(1-z)^(c-a-b)_2F_1(1-a,1-b;c+1-a-b;1-z)
(63)
u_6^((3))(x)=z^(a-c)(1-z)^(c-a-b)_2F_1(c-a,1-a;c+1-a-b;1-z^(-1))
(64)
u_6^((4))(x)=z^(b-c)(1-z)^(c-a-b)_2F_1(c-b,1-b;c+1-a-b;1-z^(-1))
(65)

（Kummer 1836；Erdélyi et al. 1981, pp. 105-106）。

Goursat (1881) 和 Erdélyi et al. (1981) 给出了许多超几何变换公式，包括几个三次变换。

数学物理的许多函数可以表示为超几何函数的特殊情况。例如，

_2F_1(-l,l+1;1;(1-z)/2)=P_l(z),
(66)

其中 P_l(z) 是勒让德多项式。

(1+z)^n=_2F_1(-n,b;b;-z)
(67)
ln(1+z)=z_2F_1(1,1;2;-z)
(68)

完整的椭圆积分和黎曼 P 级数也可以用 _2F_1(a,b;c;z) 表示。特殊值包括

_2F_1(a,b;a-b+1;-1)=2^(-a)sqrt(pi)(Gamma(1+a+b))/(Gamma(1+1/2a-b)Gamma(1/2+1/2a))
(69)
_2F_1(1,-a;a;-1)=(sqrt(pi))/2(Gamma(a))/(Gamma(a+1/2))+1
(70)
_2F_1(a,b;c;1/2)=2^a_2F_1(a,c-b;c;-1)
(71)
_2F_1(a,b;1/2(a+b+1);1/2)=(Gamma(1/2)Gamma[1/2(1+a+b)])/(Gamma[1/2(1+a)]Gamma[1/2(1+b)])
(72)
_2F_1(a,1-a;c;1/2)=(Gamma(1/2c)Gamma[1/2(c+1)])/(Gamma[1/2(a+c)]Gamma[1/2(1+c-a)])
(73)
_2F_1(a,b;c;1)=(Gamma(c)Gamma(c-a-b))/(Gamma(c-a)Gamma(c-b)).
(74)

Kummer 的第一个公式给出

_2F_1(1/2+m-k,-n;2m+1;1)=(Gamma(2m+1)Gamma(m+1/2+k+n))/(Gamma(m+1/2+k)Gamma(2m+1+n)),
(75)

其中 m!=-1/2，-1，-3/2，.... Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 557) 给出了许多附加的恒等式。

超几何函数可以推广到广义超几何函数

_nF_m(a_1,...,a_n;b_1,...,b_m;z).
(76)

形式为 _1F_1(a;b;z) 的函数称为第一类合流超几何函数，形式为 _0F_1(;b;z) 的函数称为合流超几何极限函数。

另请参阅

Appell 超几何函数, Barnes 引理, Bradley 定理, Cayley 超几何函数定理, Clausen 公式, 闭合形式, 第一类合流超几何函数, 第二类合流超几何函数, 合流超几何极限函数, 邻近函数, Darling 乘积, 广义超几何函数, Gosper 算法, 超几何恒等式, 超几何级数, 雅可比多项式, Kummer 公式, Kummer 二次变换, Kummer 关系, 多元超几何函数, Orr 定理, Pfaff 变换, q-超几何函数, Ramanujan 超几何恒等式, Saalschützian, Sister Celine 方法, Zeilberger 算法

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 上被引用

超几何函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "超几何函数。" 来源：MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HypergeometricFunction.html

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