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Ehrhart 多项式

设 Delta 表示一个积分凸多胞形，其维度为 n，位于格点 M 中，并设 l_Delta(k) 表示在 Delta 按照整数因子 k 膨胀后，格点的数量，

l_Delta(k)=#(kDelta intersection M)
(1)

对于 k in Z^+。那么 l_Delta 是关于 k 的多项式函数，其阶数为 n，且系数为有理数

l_Delta(k)=a_nk^n+a_(n-1)k^(n-1)+...+a_0
(2)

称为 Ehrhart 多项式 (Ehrhart 1967, Pommersheim 1993)。特定的系数具有重要的几何意义。

1. a_n 是 content of Delta 的容积。

2. a_(n-1) 是 (n-1) 维面的容积之和的一半，这些面是 Delta 的面。

3. a_0=1.

设 S_2(Delta) 表示 Delta 的边的格点长度之和，那么当 n=2 时，对应于 Pick 定理，

l_Delta(k)=Vol(Delta)k^2+1/2S_2(Delta)k+1.
(3)

设 S_3(Delta) 表示 Delta 的二维面的格点体积之和，那么当 n=3 时，得到

l_Delta(k)=Vol(Delta)k^3+1/2S_3(Delta)k^2+a_1k+1,
(4)

其中一个相当复杂的表达式由 Pommersheim (1993) 给出，因为 a_1 很不幸不能 用 Delta 的边来解释。顶点为 (0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) 的四面体的 Ehrhart 多项式是

l_Delta(k)=1/6abck^3+1/4(ab+ac+bc+d)k^2+[1/(12)((ac)/b+(bc)/a+(ab)/c+(d^2)/(abc))+1/4(a+b+c+A+B+C)-As((bc)/d,(aA)/d)-Bs((ac)/d,(bB)/d)-Cs((ab)/d,(cC)/d)]k+1,
(5)

其中 s(x,y) 是一个 Dedekind 和, A=GCD(b,c), B=GCD(a,c), C=GCD(a,b) (这里，GCD 是最大公约数), 且 d=ABC (Pommersheim 1993)。

另请参阅

Dehn 不变量, Pick 定理

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Beck, M. and Robins, S. 离散地计算连续：多面体中的整点计数。 New York: Springer, 2007.Ehrhart, E. "Sur une problème de géométrie diophantine linéaire." J. reine angew. Math. 227, 1-29, 1967.Ellis-Monaghan, J. A. and Merino, C. "Graph Polynomials and Their Applications II: Interrelations and Interpretations." 28 Jun 2008. http://arxiv.org/abs/0806.4699.Gardner, M. 来自《科学美国人》的第六本数学游戏书。 Chicago, IL: University of Chicago Press, p. 215, 1984.Macdonald, I. G. "The Volume of a Lattice Polyhedron." Proc. Camb. Phil. Soc. 59, 719-726, 1963.McMullen, P. "Valuations and Euler-Type Relations on Certain Classes of Convex Polytopes." Proc. London Math. Soc. 35, 113-135, 1977.Pommersheim, J. "Toric Varieties, Lattices Points, and Dedekind Sums." Math. Ann. 295, 1-24, 1993.Reeve, J. E. "On the Volume of Lattice Polyhedra." Proc. London Math. Soc. 7, 378-395, 1957.Reeve, J. E. "A Further Note on the Volume of Lattice Polyhedra." Proc. London Math. Soc. 34, 57-62, 1959.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Ehrhart 多项式

请引用为

Weisstein, Eric W. "Ehrhart 多项式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EhrhartPolynomial.html

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