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五次方程

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与二次、三次和四次多项式不同，一般的general五次方程不能用有限次加法、减法、乘法、除法和开方运算代数求解，这已被阿贝尔 (阿贝尔不可能性定理) 和伽罗瓦严格证明。然而，某些类型的五次方程can可以用这种方式求解。

QuinticGaloisGroups

不可约五次方程可以与一个伽罗瓦群相关联，该群可能是对称群 S_n、亚循环群 M_n、二面体群 D_n、交错群 A_n或循环群 C_n，如上所示。五次方程的可解性取决于其对应的群是否为可解群。一个具有可解循环群的五次方程的例子是

1024x^5-2816x^4+2816x^3-1232x^2+220x-11=0,
(1)

它出现在 sin(pi/11) 的计算中。

对于可解五次方程，可以使用 Malfatti 在 1771 年发现的公式找到根，他是第一个使用六次预解式“解”五次方程的人 (Pierpont 1895)。

一般的五次方程可以用雅可比 theta 函数求解，正如 Hermite 在 1858 年首次完成的那样。克罗内克随后更简单地获得了相同的解，而布里奥斯基也推导出了该方程。为此，将一般的五次方程简化为

a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0
(2)

布林克五次型

x^5-x+rho=0.
(3)

定义

k=tan[1/4sin^(-1)((16)/(25sqrt(5)rho^2))]
(4)
s={-sgn(I[rho]) for R[rho]=0; sgn(R[rho]) for R[rho]!=0
(5)
b=(s(k^2)^(1/8))/(2·5^(3/4)sqrt(k(1-k^2))),
(6)

其中 k 是椭圆模量，则原始五次方程的根由下式给出

x_1=(-1)^(3/4)b{[m(e^(-2pii/5)q^(1/5))]^(1/8)+i[m(e^(2pii/5)q^(1/5))]^(1/8)}{[m(e^(-4pii/5)q^(1/5))]^(1/8)+[m(e^(4pii/5)q^(1/5))]^(1/8)}{[m(q^(1/5))]^(1/8)+q^(5/8)(q^5)^(-1/8)[m(q^5)]^(1/8)}
(7)
x_2=b{-[m(q^(1/5))]^(1/8)+e^(3pii/4)[m(e^(2pii/5)q^(1/5))]^(1/8)}×{e^(-3pii/4)[m(e^(-2pii/5)q^(1/5))]^(1/8)+i[m(e^(4pii/5)q^(1/5))]^(1/8)}{i[m(e^(-4pii/5)q^(1/5))]^(1/8)+q^(5/8)(q^5)^(-1/8)[m(q^5)]^(1/8)}
(8)
x_3=b{e^(-3pii/4)[m(e^(-2pii/5)q^(1/5))]^(1/8)-i[m(e^(-4pii/5)q^(1/5)]^(1/8))}×{-[m(q^(1/5))]^(1/8)-i[m(e^(4pii/5)q^(1/5))]^(1/8)}×{e^(3pii/4)[m(e^(2pii/5)q^(1/5))]^(1/8)+q^(5/8)(q^5)^(-1/8)[m(q^5)]^(1/8)}
(9)
x_4=b{[m(q^(1/5))]^(1/8)-i[m(e^(-4pii/5)q^(1/5))]^(1/8)}×{-e^(3pii/4)[m(e^(2pii/5)q^(1/5))]^(1/8)-i[m(e^(4pii/5)q^(1/5))]^(1/8)}{e^(-3pii/4)[m(e^(-2pii/5)q^(1/5))]^(1/8)+q^(5/8)(q^5)^(-1/8)[m(q^5)]^(1/8)}
(10)
x_5=b{[m(q^(1/5))]^(1/8)-e^(-3pii/4)[m(e^(-2pii/5)q^(1/5))]^(1/8)}×{-e^(3pii/4)[m(e^(2pii/5)q^(1/5))]^(1/8)+i[m(e^(-4pii/5)q^(1/5))]^(1/8)}{-i[m(e^(4pii/5)q^(1/5))]^(1/8)+q^(5/8)(q^5)^(-1/8)[m(q^5)]^(1/8)}.
(11)

其中

m(q)=(theta_2^4(0,q))/(theta_3^4(0,q))
(12)

是逆模数，它可以表示为雅可比 theta 函数的比率。

欧拉将一般的五次方程简化为

x^5-10qx^2-p=0.
(13)

五次方程也可以代数地简化为主五次型

x^5+a_2x^2+a_1x+a_0=0.
(14)

通过求解四次方程，可以将五次方程代数地简化为布林克五次型，正如 Jerrard 首次完成的那样。Runge (1885) 和 Cadenhad 以及 Young 找到了可解五次方程的参数化形式

x^5+ax+b=0
(15)

通过证明所有缺少 系数 x^4、x^3 和 x^2 的不可约可解五次方程具有以下形式

x^5+(5mu^4(4nu+3))/(nu^2+1)x+(4mu^5(2nu+1)(4nu+3))/(nu^2+1)=0,
(16)

其中 mu 和 nu 是有理数。

Spearman 和 Williams (1994) 表明，形式为 (15) 且具有有理系数的不可约五次方程可以用根式求解，当且仅当存在有理数 epsilon=+/-1、c>=0 和 e!=0 使得

a=(5e^4(3-4epsilonc))/(c^2+1)
(17)
b=(-4e^5(11epsilon+2c))/(c^2+1)
(18)

(Spearman 和 Williams 1994)。根是

x_j=e(omega^ju_1+omega^(2j)u_2+omega^(3j)u_3+omega^(4j)u_4),
(19)

其中

u_1=((v_1^2v_3)/(D^2))^(1/5)
(20)
u_2=((v_3^2v_4)/(D^2))^(1/5)
(21)
u_3=((v_2^2v_1)/(D^2))^(1/5)
(22)
u_4=((v_4^2v_2)/(D^2))^(1/5)
(23)
v_1=sqrt(D)+sqrt(D-epsilonsqrt(D))
(24)
v_2=-sqrt(D)-sqrt(D+epsilonsqrt(D))
(25)
v_3=-sqrt(D)+sqrt(D+epsilonsqrt(D))
(26)
v_4=sqrt(D)-sqrt(D-epsilonsqrt(D))
(27)
D=c^2+1.
(28)

费利克斯·克莱因使用契恩豪森变换将一般的五次方程简化为形式

y^5+5ay^2+5by+c=0.
(29)

然后他求解了相关的二十面体方程

I(z,1,Z)=z^5(-1+11z^5+z^(10))^5 -[1+z^(30)-10005(z^(10)+z^(20))+522(-z^5+z^(25))]^2Z=0,
(30)

其中 Z 是 a、b 和 c 的根式函数。该方程的解可以用超几何函数表示为

(Z^(-1/60)_2F_1(-1/(60),(29)/(60),4/5,1728Z))/(Z^(11/60)_2F_1((11)/(60),(41)/(60),6/5,1728Z)).
(31)

另一种可能的方法是使用级数展开，这给出了布林克五次型的一个根（下面列表中的第一个）。所有五个根都可以使用微分方程推导出来（Cockle 1860，Harley 1862）。设

F_1(rho)=F_2(rho)
(32)
F_2(rho)=_4F_3(1/5,2/5,3/5,4/5;1/2,3/4,5/4;(3125)/(256)rho^4)
(33)
F_3(rho)=_4F_3(9/(20),(13)/(20),(17)/(20),(21)/(20);3/4,5/4,3/2;(3125)/(256)rho^4)
(34)
F_4(rho)=_4F_3(7/(10),9/(10),(11)/(10),(13)/(10);5/4,3/2,7/4;(3125)/(256)rho^4),
(35)
(36)

那么根是

t_1=-rho_4F_3(1/5,2/5,3/5,4/5;1/2,3/4,5/4;(3125)/(256)rho^4)
(37)
t_2=-F_1(rho)+1/4rhoF_2(rho)+5/(32)rho^2F_3(rho)+5/(32)rho^3F_4(rho)
(38)
t_3=-F_1(rho)+1/4rhoF_2(rho)-5/(32)rho^2F_3(rho)+5/(32)rho^3F_4(rho)
(39)
t_4=-iF_1(rho)+1/4rhoF_2(rho)-5/(32)irho^2F_3(rho)-5/(32)rho^3F_4(rho)
(40)
t_5=iF_1(rho)+1/4rhoF_2(rho)+5/(32)irho^2F_3(rho)-5/(32)rho^3F_4(rho).
(41)

这种技术为任何可以写成以下形式的多项式方程，以单变量超几何函数的形式给出闭式解

x^p+bx^q+c.
(42)

考虑五次方程

product_(j=0)^4[x-(omega^ju_1+omega^(4j)u_2)]=0,
(43)

其中 omega=e^(2pii/5)，u_1 和 u_2 是复数，这与棣莫弗五次方程 (Spearman 和 Williams 1994) 相关，并将其推广到

product_(j=0)^4[x-(omega^ju_1+omega^(2j)u_2+omega^(3j)u_3+omega^(4j)u_4)]=0.
(44)

展开，

(omega^ju_1+omega^(2j)u_2+omega^(3j)u_3+omega^(4j)u_4)^5-5U(omega^ju_1+omega^(2j)u_2+omega^(3j)u_3+omega^(4j)u_4)^3-5V(omega^ju_1+omega^(2j)u_2+omega^(3j)u_3+omega^(4j)u_4)^2+5W(omega^ju_1+omega^(2j)u_2+omega^(3j)u_3+omega^(4j)u_4)+[5(X-Y)-Z]=0,
(45)

其中

U=u_1u_4+u_2u_3
(46)
V=u_1u_2^2+u_2u_4^2+u_3u_1^2+u_4u_3^2
(47)
W=u_1^2u_4^2+u_2^2u_3^2-u_1^3u_2-u_2^3u_4-u_3^3u_1-u_4^3u_3-u_1u_2u_3u_4
(48)
X=u_1^3u_3u_4+u_2^3u_1u_3+u_3^3u_2u_4+u_4^3u_1u_2
(49)
Y=u_1u_3^2u_4^2+u_2u_1^2u_3^2+u_3u_2^2u_4^2+u_4u_1^2u_2^2
(50)
Z=u_1^5+u_2^5+u_3^5+u_4^5
(51)

(Spearman 和 Williams 1994)。u_is 满足

u_1u_4+u_2u_3=0
(52)
u_1u_2^2+u_2u_4^2+u_3u_1^2+u_4u_3^2=0
(53)
u_1^2u_4^2+u_2^2u_3^2-u_1^3u_2-u_2^3u_4-u_3^3u_1-u_4^3u_3-u_1u_2u_3u_4
(54)
=1/5a
(55)
5[(u_1^3u_3u_4+u_2^3u_1u_3+u_3^3u_3u_4+u_4^3u_1u_2)-(u_1u_3^2u_4^2+u_2u_1^2u_3^2+u_3u_2^2u_4^2+u_4u_1^2u_2^2)]-(u_1^5+u_2^5+u_3^5+u_4^5)=b
(56)

(Spearman 和 Williams 1994)。

另请参阅

布林克五次型, 布里奥斯基五次型, 布林克-杰拉德五次型, 三次方程, 棣莫弗五次方程, 主五次型, 二次方程, 四次方程, 六次方程

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 中被引用

五次方程

请引用为

Weisstein, Eric W. "五次方程。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/QuinticEquation.html

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