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多项式判别式

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多项式判别式是多项式多项式根 r_i 的差的平方的乘积。多项式的判别式仅在常数因子范围内定义，并且可以使用几种略有不同的归一化方法。对于多项式

p(z)=a_nz^n+a_(n-1)z^(n-1)+...+a_1z+a_0
(1)

次数为 n，判别式最常见的定义是

D(p)=a_n^(2n-2)product_(i,j; i<j)^n(r_i-r_j)^2,
(2)

这给出了一个关于 p 的系数的 2(n-1) 次齐次多项式。

多项式 p 的判别式可以用结式表示为

D(p)=(-1)^(n(n-1)/2)R(p,p^')a_n^(n-k-2),
(3)

其中 p^' 是 p 的导数，k 是 p^' 的次数。对于无限特征域，k=n-1，因此公式简化为

D(p)=((-1)^(n(n-1)/2)R(p,p^'))/(a_n).
(4)

单变量多项式 p(x) 的判别式在 Wolfram 语言中实现为Discriminant[p, x].

二次方程的判别式

a_2z^2+a_1z+a_0=0
(5)

由下式给出

D_2=a_1^2-4a_0a_2.
(6)

三次方程的判别式

a_3z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0
(7)

由下式给出

D_3=a_1^2a_2^2-4a_0a_2^3-4a_1^3a_3+18a_0a_1a_2a_3-27a_0^2a_3^2
(8)

四次方程的判别式

a_4z^4+a_3z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0
(9)

是

D_4=[(a_1^2a_2^2a_3^2-4a_1^3a_3^3-4a_1^2a_2^3a_4+18a_1^3a_2a_3a_4-27a_1^4a_4^2+256a_0^3a_4^3)+a_0(-4a_2^3a_3^2+18a_1a_2a_3^3+16a_2^4a_4-80a_1a_2^2a_3a_4-6a_1^2a_3^2a_4+144a_1^2a_2a_4^2)+a_0^2(-27a_3^4+144a_2a_3^2a_4-128a_2^2a_4^2-192a_1a_3a_4^2)]
(10)

(Schroeppel 1972)。

另请参阅

三次方程, 多项式, 二次方程, 四次方程, 结式, 根分离, 子结式, 韦达定理

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参考文献

Akritas, A. G. 计算机代数及其应用基础。 纽约: Wiley, 1989.Basu, S.; Pollack, R.; and Roy, M.-F. 实代数几何算法。 柏林: Springer-Verlag, 2003.Caviness, B. F. and Johnson, J. R. (编). 量词消除与柱形代数分解。 纽约: Springer-Verlag, 1998.Cohen, H. "结式和判别式。" §3.3.2 in 计算代数数论教程。 纽约: Springer-Verlag, pp. 119-123, 1993.Cox, D.; Little, J.; and O'Shea, D. 理想，簇和算法：代数几何与交换代数导论，第2版。 纽约: Springer-Verlag, 1996.Mignotte, M. and Stefănescu, D. 多项式：算法方法。 新加坡: Springer-Verlag, 1999.Schroeppel, R. Item 4 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 4, Feb. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/geometry.html#item4.Zippel, R. 有效多项式计算。 波士顿, MA: Kluwer, 1993.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

多项式判别式

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "多项式判别式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PolynomialDiscriminant.html

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