复数

复数是 域 ，是 形如 的数字，其中 和 是 实数，而 i 是 虚数单位，等于 平方根 ，。当使用单个字母 表示复数时，有时称为“附标”。在分量表示法中， 可以写成 。域 复数包括 域 实数 作为 子域。

复数集在 Wolfram 语言 中实现为Complexes。数字 然后可以被测试以查看它是否是复数，使用命令Element[x,Complexes]，并且作为复数的表达式具有Head的Complex.

复数是有用的抽象量，可以用于计算并产生物理上有意义的解。然而，认识到这一事实是数学家们花了很长时间才接受的。例如，约翰·沃利斯写道：“这些虚数（通常被称为）从负平方的假定根（当它们发生时）被认为意味着所提出的情况是不可能的”（Wells 1986，第 22 页）。

通过 欧拉公式，复数

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可以写成“相量”形式

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这里， 被称为 复数模（或有时称为复数范数），而 被称为 复数辐角 或 相位。上面的图显示了所谓的 阿根图，表示点 ，其中虚线圆表示 复数模 的 ，角度 表示其 复数辐角。从历史上看，复数作为平面中一个点的几何表示非常重要，因为它使复数的整个概念更容易接受。特别是，“虚数”部分地通过其可视化而被接受。

与实数不同，复数没有自然的排序，因此没有复数值不等式的类似物。然而，当将它们视为 复平面 中的元素时，这个性质并不令人惊讶，因为平面中的点也缺乏自然的排序。

绝对平方 定义为 ，其中 是 复共轭，并且辐角可以从下式计算

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实部 和 虚部 由下式给出

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棣莫弗恒等式 关联了复数的 幂，对于实数 ，通过

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复数 的 幂 到正整数指数 可以写成闭合形式

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前几个显式地是

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（Abramowitz 和 Stegun 1972）。

复数加法

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复数减法

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复数乘法

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和 复数除法

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也可以为复数定义。复数也可以取复数幂。例如，复数指数运算 遵循

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其中 是 复数辐角。