正交多项式

正交多项式是 多项式 的类别，定义在 范围内，并服从 正交性 关系

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其中 是一个 权重函数， 是 克罗内克 delta。如果 ，那么这些 多项式 不仅是正交的，而且是正交归一的。

正交多项式在解决数学和物理问题中具有非常有用的性质。正如 傅里叶级数 提供了一种方便的方法，将周期函数展开为线性无关项的级数一样，正交多项式为解决、展开和解释许多重要类型的 微分方程 的解提供了一种自然的方法。使用 格拉姆-施密特正交化 生成正交多项式尤其容易。

下表给出了常见的正交多项式，其中 是权重函数，并且

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（Abramowitz 和 Stegun 1972，第 774-775 页）。

多项式	区间
第一类切比雪夫多项式
第二类切比雪夫多项式
盖根鲍尔多项式
埃尔米特多项式
雅可比多项式
拉盖尔多项式			1
广义 拉盖尔多项式
勒让德多项式		1

在上表中，

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其中 是 伽马函数。

正交多项式的 根 具有许多相当令人惊讶和有用的性质。例如，设 是 的 根，其中 和 。那么每个区间 对于 , 1, ..., 都包含 恰好一个 根，即 的根。在 的两个 根 之间，至少有一个 根 是 的根，对于 。

设 是任意 实 常数，则 多项式

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有 个不同的 实 根。如果 ()，这些 根 位于 的内部，除了最大（最小）根，它仅在以下情况下位于 中

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以下部分分式分解成立

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其中 是 的 根，并且

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另一个有趣的性质是通过让 成为与 在 上的分布相关的正交归一集 多项式。那么 连分数 的 收敛项

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由下式给出

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其中 , 1, ... 并且

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此外，与 在区间 上的分布相关的正交多项式 的 根 是 实数 且不同的，并且位于区间 的内部。