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椭圆函数

一个以 2omega_1 和 2omega_2 为周期的双周期函数，满足

f(z+2omega_1)=f(z+2omega_2)=f(z),
(1)

它是解析的，并且在复平面的有限部分没有奇点，除了极点。 半周期比 tau=omega_2/omega_1 必须不是纯实数，因为如果是纯实数，当 tau 是有理数时，该函数会简化为单周期函数；当 tau 是无理数时，则为常数 (Jacobi 1829)。 omega_1 和 omega_2 被标记为满足 I[tau]=I[omega_2/omega_1]>0，其中 I[z] 是虚部。

椭圆函数的“胞腔”被定义为复平面中的一个平行四边形区域，在该区域中函数不是多值的。椭圆函数遵循的性质包括：

1. 一个胞腔内的极点数量是有限的。

2. 一个胞腔内的根的数量是有限的。

3. 任何胞腔内复残数的总和为 0。

4. 刘维尔椭圆函数定理：一个胞腔内没有极点的椭圆函数是常数。

5. f(z)-c 的零点数量（“阶数”）等于 f(z) 的极点数量。

6. 最简单的椭圆函数具有阶数 2，因为阶数为 1 的函数将具有一个简单的不可约极点，这将需要具有非零残数。根据性质 (3)，这是不可能的。

7. 具有阶数为 2 的单极点且复残数为 0 的椭圆函数称为魏尔斯特拉斯椭圆函数。具有两个简单极点，残数分别为 a_0 和 -a_0 的椭圆函数称为雅可比椭圆函数。

8. 任何椭圆函数都可以用魏尔斯特拉斯椭圆函数或雅可比椭圆函数表示。

9. 根的仿射坐标之和等于极点的仿射坐标之和。

10. 任何两个具有相同周期的椭圆函数之间都存在代数关系。

椭圆函数是椭圆积分的反函数。这些函数的两种标准形式被称为雅可比椭圆函数和魏尔斯特拉斯椭圆函数。雅可比椭圆函数作为以下形式的微分方程的解出现

(d^2x)/(dt^2)=A+Bx+Cx^2+Dx^3,
(2)

而魏尔斯特拉斯椭圆函数作为以下形式的微分方程的解出现

(d^2x)/(dt^2)=A+Bx+Cx^2.
(3)

另请参阅

双周期函数, 椭圆曲线, 椭圆积分, 半周期比, 雅可比椭圆函数, 雅可比 Theta 函数, 刘维尔椭圆函数定理, 模形式, 模函数, 内维尔 Theta 函数, 魏尔斯特拉斯椭圆函数

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 中被引用

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请引用为

Weisstein, Eric W. "椭圆函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EllipticFunction.html

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