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勒让德多项式

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LegendreP

勒让德多项式，有时称为第一类勒让德函数、勒让德系数或带状球谐函数（Whittaker and Watson 1990, p. 302），是勒让德微分方程的解。如果 l 是整数，它们就是多项式。上方展示了勒让德多项式 P_n(x) 在 x in [-1,1] 和 n=1, 2, ..., 5 的情况。它们在 Wolfram 语言中以如下形式实现：LegendreP[n, x].

缔合勒让德多项式 P_l^m(x) 和 P_l^(-m) 是缔合勒让德微分方程的解，其中 l 是正整数，m=0, ..., l。

勒让德多项式 P_n(z) 可以通过轮廓积分定义

P_n(z)=1/(2pii)∮(1-2tz+t^2)^(-1/2)t^(-n-1)dt,
(1)

其中轮廓包围原点并沿逆时针方向遍历（Arfken 1985, p. 416）。

前几个勒让德多项式是

P_0(x)=1
(2)
P_1(x)=x
(3)
P_2(x)=1/2(3x^2-1)
(4)
P_3(x)=1/2(5x^3-3x)
(5)
P_4(x)=1/8(35x^4-30x^2+3)
(6)
P_5(x)=1/8(63x^5-70x^3+15x)
(7)
P_6(x)=1/(16)(231x^6-315x^4+105x^2-5).
(8)

当按最小到最大幂排序且分母分解后，非零系数三角形为 1, 1, -1, 3, -3, 5, 3, -30, ... (OEIS A008316)。前导分母为 1, 1, 2, 2, 8, 8, 16, 16, 128, 128, 256, 256, ... (OEIS A060818)。

前几个幂用勒让德多项式表示为

x=P_1(x)
(9)
x^2=1/3[P_0(x)+2P_2(x)]
(10)
x^3=1/5[3P_1(x)+2P_3(x)]
(11)
x^4=1/(35)[7P_0(x)+20P_2(x)+8P_4(x)]
(12)
x^5=1/(63)[27P_1(x)+28P_3(x)+8P_5(x)]
(13)
x^6=1/(231)[33P_0(x)+110P_2(x)+72P_4(x)+16P_6(x)]
(14)

(OEIS A008317 和 A001790)。这些的闭合形式由下式给出

x^n=sum_(l=n,n-2,...)((2l+1)n!)/(2^((n-l)/2)(1/2(n-l))!(l+n+1)!!)P_l(x)
(15)

(R. Schmied, pers. comm., Feb. 27, 2005)。对于高达 12 次幂的勒让德多项式和幂，请参见 Abramowitz and Stegun (1972, p. 798)。

勒让德多项式也可以通过在开区间 (-1,1) 中使用权重函数 1 的格拉姆-施密特正交化生成。

P_0(x)=1
(16)
P_1(x)=[x-(int_(-1)^1xdx)/(int_(-1)^1dx)]·1
(17)
=x
(18)
P_2(x)=x[x-(int_(-1)^1x^3dx)/(int_(-1)^1x^2dx)]-[(int_(-1)^1x^2dx)/(int_(-1)^1dx)]·1
(19)
=x^2-1/3
(20)
P_3(x)=[x-(int_(-1)^1x(x^2-1/3)^2dx)/(int_(-1)^1(x^2-1/3)^2dx)](x^2-1/3)-[(int_(-1)^1(x^2-1/3)^2dx)/(int_(-1)^1x^2dx)]x
(21)
=x^3-3/5x.
(22)

归一化使得 P_n(1)=1 得到期望的勒让德多项式。

“移位”勒让德多项式是一组类似于勒让德多项式的函数，但定义在区间 (0, 1) 上。它们服从正交性关系

int_0^1P^__m(x)P^__n(x)dx=1/(2n+1)delta_(mn).
(23)

前几个是

P^__0(x)=1
(24)
P^__1(x)=2x-1
(25)
P^__2(x)=6x^2-6x+1
(26)
P^__3(x)=20x^3-30x^2+12x-1.
(27)

勒让德多项式在 (-1,1) 上关于权重函数 1 正交，并满足

int_(-1)^1P_n(x)P_m(x)dx=2/(2n+1)delta_(mn),
(28)

其中 delta_(mn) 是克罗内克 delta。

勒让德多项式是盖根鲍尔多项式的特殊情况，其中 alpha=1/2，是雅可比多项式 P_n^((alpha,beta)) 的特殊情况，其中 alpha=beta=0，并且可以使用墨菲公式写成超几何函数形式

P_n(x)=P_n^((0,0))(x)=_2F_1(-n,n+1;1;1/2(1-x))
(29)

(Bailey 1933; 1935, p. 101; Koekoek and Swarttouw 1998)。

罗德里格斯表示法提供了公式

P_l(x)=1/(2^ll!)(d^l)/(dx^l)(x^2-1)^l,
(30)

展开后得到

P_l(x)=1/(2^l)sum_(k=0)^(|_l/2_|)((-1)^k(2l-2k)!)/(k!(l-k)!(l-2k)!)x^(l-2k)
(31)
=1/(2^l)sum_(k=0)^(|_l/2_|)(-1)^k(l; k)(2l-2k; l)x^(l-2k)
(32)

其中 |_r_| 是向下取整函数。其他求和公式包括

P_l(x)=1/(2^l)sum_(k=0)^(l)(l; k)^2(x-1)^(l-k)(x+1)^k
(33)
=sum_(k=0)^(l)(l; k)(-l-1; k)((1-x)/2)^k
(34)

(Koepf 1998, p. 1)。用超几何函数表示，这些可以写成

P_n(x)=((x-1)/2)^n_2F_1(-n,-n;1;(x+1)/(x-1))
(35)
P_n(x)=(2n; n)(x^n)/(2^n)_2F_1(-n/2,(1-n)/2;1/2-n;x^(-2))
(36)
P_n(x)=_2F_1(-n,n+1;1;(1-x)/2)
(37)

(Koepf 1998, p. 3)。

生成函数 P_n(x) 由下式给出

g(t,x)=(1-2xt+t^2)^(-1/2)=sum_(n=0)^inftyP_n(x)t^n.
(38)

取 partialg/partialt,

-1/2(1-2xt+t^2)^(-3/2)(-2x+2t)=sum_(n=0)^inftynP_n(x)t^(n-1).
(39)

将 (39) 乘以 2t,

-t(1-2xt+t^2)^(-3/2)(-2x+2t)=sum_(n=0)^infty2nP_n(x)t^n
(40)

并将 (38) 和 (40) 相加，

(1-2xt+t^2)^(-3/2)[(2xt-2t^2)+(1-2xt+t^2)]=sum_(n=0)^infty(2n+1)P_n(x)t^n
(41)

此展开式在一些物理问题中很有用，包括展开 Heyney-Greenstein 相函数和计算球体上的电荷分布。另一个生成函数由下式给出

sum_(n=0)^infty(P_n(x))/(n!)z^n=e^(xz)J_0(zsqrt(1-x^2)),
(42)

其中 J_0(x) 是第一类贝塞尔函数的零阶函数 (Koepf 1998, p. 2)。

勒让德多项式满足递推关系

(l+1)P_(l+1)(x)-(2l+1)xP_l(x)+lP_(l-1)(x)=0
(43)

(Koepf 1998, p. 2)。此外，

(1-x^2)P_n^'(x)=-nxP_n(x)+nP_(n-1)(x)=(n+1)xP_n(x)-(n+1)P_(n+1)(x)
(44)

（修正了 Hildebrand 1956, p. 324）。

一个复数生成函数是

P_l(x)=1/(2pii)int(1-2zx+z^2)^(-1/2)z^(-l-1)dz,
(45)

而施莱夫利积分是

P_l(x)=((-1)^l)/(2^l)1/(2pii)int((1-z^2)^l)/((z-x)^(l+1))dz.
(46)

区间 [x,1] 上的积分包括一般公式

int_x^1P_m(x)dx=((1-x^2))/(m(m+1))(dP_m(x))/(dx)
(47)

对于 m!=0 (Byerly 1959, p. 172)，由此得到特殊情况

int_0^1P_m(x)dx=(P_(m-1)(0)-P_(m+1)(0))/(2m+1)
(48)
={1 m=0; 0 m even !=0; (-1)^((m-1)/2)(m!!)/(m(m+1)(m-1)!!) m odd
(49)

如下 (OEIS A002596 和 A046161; Byerly 1959, p. 172)。对于勒让德函数乘积的积分，

int_x^1P_m(x)P_n(x)dx=((1-x^2)[P_n(x)P_m^'(x)-P_m(x)P_n^'(x)])/(m(m+1)-n(n+1))
(50)

对于 m!=n (Byerly 1959, p. 172)，由此得到特殊情况

int_0^1P_m(x)P_n(x)dx={1/(2n+1) m=n; 0 m!=n, m,n both even or odd; f_(m,n) m even, n odd; f_(n,m) m odd, n even
(51)

其中

f_(m,n)=((-1)^((m+n+1)/2)m!n!)/(2^(m+n-1)(m-n)(m+n+1)[(1/2m)!]^2{[1/2(n-1)]!}^2)
(52)

(OEIS A078297 和 A078298; Byerly 1959, p. 172)。后者是以下情况的特例

int_0^1P_mu(x)P_nu(x)dx=(Asin(1/2pinu)cos(1/2pimu)-A^(-1)sin(1/2pimu)cos(1/2pinu))/(1/2pi(nu-mu)(mu+nu+1)),
(53)

其中

A=(Gamma(1/2(mu+1))Gamma(1+1/2nu))/(Gamma(1/2(nu+1))Gamma(1+1/2mu))
(54)

并且 Gamma(z) 是伽玛函数 (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 762, eqn. 7.113.1)

区间 [-1,1] 上关于权重函数 x 和 x^2 的积分由下式给出

int_(-1)^1xP_L(x)P_N(x)dx={(2(L+1))/((2L+1)(2L+3)) for N=L+1; (2L)/((2L-1)(2L+1)) for N=L-1
(55)
int_(-1)^1x^2P_L(x)P_N(x)dx={(2(L+1)(L+2))/((2L+1)(2L+3)(2L+5)) for N=L+2; (2(2L^2+2L-1))/((2L-1)(2L+1)(2L+3)) for N=L; (2L(L-1))/((2L-3)(2L-1)(2L+1)) for N=L-2
(56)

(Arfken 1985, p. 700)。

拉普拉斯变换由下式给出

L[P_n(t)](s)={1/2sqrt(pi)[sqrt(2/s)I_(-n-1/2)(s)-1/2s_1F_2(1;2+1/2n,1/2(3-n);1/4s^2)] for n even; 1/2sqrt(pi)[sqrt(2/s)I_(-n-1/2)(s)+_1F_2(1;1/2(3+n),1-1/2n;1/4s^2)] for n odd,
(57)

其中 I_n(s) 是第一类修正贝塞尔函数。

一个求和恒等式由下式给出

1-[P_n(x)]^2=sum_(nu=1)^n(1-x^2)/(1-x_nu^2)[(P_n(x))/(P_n^'(x_nu)(x-x_nu))]^2,
(58)

其中 x_nu 是 nuth 根 P_n(x) (Szegö 1975, p. 348)。一个类似的恒等式是

sum_(nu=1)^n(1-x_nu^2)/((n+1)^2[P_(n+1)(x_nu)]^2)=1,
(59)

这解释了勒让德-高斯求积法中权重之和始终等于 2 的事实。

另请参阅

缔合勒让德多项式, 圆锥函数, 拉普拉斯积分, 拉普拉斯-梅勒积分, 第一类勒让德函数, 第二类勒让德函数, 梅勒-狄利克雷积分, 球谐函数, 超卡塔兰数, 带状球谐函数

相关 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/Polynomials/LegendreP/, http://functions.wolfram.com/Polynomials/LegendreP/

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Legendre Functions" and "Orthogonal Polynomials." Ch. 22 in Chs. 8 and 22 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 331-339 and 771-802, 1972.Arfken, G. "Legendre Functions." Ch. 12 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 637-711, 1985.Bailey, W. N. "On the Product of Two Legendre Polynomials." Proc. Cambridge Philos. Soc. 29, 173-177, 1933.Bailey, W. N. Generalised Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1935.Byerly, W. E. "Zonal Harmonics." Ch. 5 in An Elementary Treatise on Fourier's Series, and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics. New York: Dover, pp. 144-194, 1959.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.Hildebrand, F. B. Introduction to Numerical Analysis. New York: McGraw-Hill, 1956.Iyanaga, S. and Kawada, Y. (Eds.). "Legendre Function" and "Associated Legendre Function." Appendix A, Tables 18.II and 18.III in Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, pp. 1462-1468, 1980.Koekoek, R. and Swarttouw, R. F. "Legendre / Spherical." §1.8.3 in The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its q-Analogue. Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, p. 44, 1998.Koepf, W. Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, 1998.Lagrange, R. Polynomes et fonctions de Legendre. Paris: Gauthier-Villars, 1939.Legendre, A. M. "Sur l'attraction des Sphéroides." Mém. Math. et Phys. présentés à l'Ac. r. des. sc. par divers savants 10, 1785.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 593-597, 1953.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 252, 1992.Sansone, G. "Expansions in Series of Legendre Polynomials and Spherical Harmonics." Ch. 3 in Orthogonal Functions, rev. English ed. New York: Dover, pp. 169-294, 1991.Sloane, N. J. A. Sequences A001790/M2508, A002596/M3768, A008316, A008317, A046161, A060818, A078297, and A078298 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Snow, C. Hypergeometric and Legendre Functions with Applications to Integral Equations of Potential Theory. Washington, DC: U. S. Government Printing Office, 1952.Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Legendre Polynomials P_n(x)" and "The Legendre Functions P_nu(x) and Q_nu(x)." Chs. 21 and 59 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 183-192 and 581-597, 1987.Strutt, J. W. "On the Values of the Integral int_0^1Q_nQ_n^'dmu, Q_n, Q_n^' being LaPlace's Coefficients of the orders n, n^', with an Application to the Theory of Radiation." Philos. Trans. Roy. Soc. London 160, 579-590, 1870.Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 Wolfram|Alpha 中引用

勒让德多项式

引用为

Weisstein, Eric W. "勒让德多项式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LegendrePolynomial.html

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