垂心

三角形三条高线 , , 和 的交点 称为垂心。名称由 Besant 和 Ferrers 于 1865 年在剑桥通往伦敦的道路上散步时发明（Satterly 1962）。垂心的 三线坐标 是

(1)

如果 三角形 不是 直角三角形，则 (1) 可以除以 得到

(2)

垂心是 Kimberling 中心 。

下表总结了作为 Kimberling 中心的命名三角形的垂心。

三角形	Kimberling	垂心
反补三角形		de Longchamps 点
外接圆弧中点三角形		内心
外法线三角形		外心
外切线三角形		外心
切点三角形		切点三角形的垂心
Euler-Gergonne-Soddy 三角形		Fletcher 点
Euler 三角形		垂心
旁心三角形		内心
第一 Brocard 三角形		在 中的反射
第一 Morley 三角形		第一 Morley 中心
第一 Yff 圆三角形		第一 Johnson-Yff 圆的中心
Fuhrmann 三角形		内心
hexyl triangle		Bevan 点
内心三角形		内心三角形的垂心
内 Napoleon 三角形		三角形重心
内 Vecten 三角形		内 Vecten 点
中点三角形		外心
弧中点三角形		第一 弧中点
垂足三角形		垂足三角形的垂心
外 Napoleon 三角形		三角形重心
外 Vecten 三角形		外 Vecten 点
参考三角形		垂心
第二 Yff 圆三角形		(,) 的 调和共轭点
Stammler 三角形		外心
Steiner 三角形		外心
切线三角形		垂足三角形的特征中心
Yff 切点三角形		Nagel 点

如果三角形是 锐角三角形，则垂心位于三角形内部。在 直角三角形 中，垂心是 直角 的 多边形顶点。

当三角形的顶点与其垂心组合时，任何一个点都是其他三个点的垂心，正如 Carnot (Wells 1991) 最早指出的那样。因此，这四个点形成一个 垂心系统。

外心 和垂心 是 等角共轭点。

垂心位于 欧拉线 上。它位于 Fuhrmann 圆 和 垂心心圆 上，并且垂心和 Nagel 点 构成 Fuhrmann 圆 的 直径。它是 极圆 和 第一 Droz-Farny 圆 的中心。它也位于 费尔巴哈双曲线、耶拉贝克双曲线 和 基佩尔特双曲线，以及 Darboux 三次曲线、M'Cay 三次曲线、Neuberg 三次曲线、正交三次曲线 和 汤姆森三次曲线 上。

到一些命名中心的距离包括

			(3)
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其中 是 Clawson 点， 是 三角形重心， 是 Gergonne 点， 是 内心， 是 界心， 是 de Longchamps 点， 是 mittenpunkt， 是 九点中心， 是 Nagel 点， 是 外心， 是 Spieker 中心， 是 三角形面积， 是 外接圆半径，以及 是 Conway 三角形符号。

涉及垂心的关系包括以下内容

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			(19)

其中 是面积， 是 参考三角形 的 外接圆半径，以及 、、 和 是 Conway 三角形符号 (P. Moses, 私人交流, 2005 年 2 月 23 日)。在 锐角三角形 的情况下，

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其中 是 内切圆半径 且

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是 垂足三角形 的内切圆半径 (Johnson 1929, p. 191)。

另一个垂心关系由下式给出

(23)

其中 是 外心。

任何外接于 三角形 且穿过垂心的 双曲线 都是 矩形双曲线，并且其中心位于 九点圆 上 (Falisse 1920, Vandeghen 1965)。