直角三角形

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直角三角形是具有角为 ( 弧度) 的三角形。这种三角形的边、和满足勾股定理

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其中最长边通常表示为，称为斜边。另外两条长度为和的边称为直角边，有时也称为股。

小说深夜小狗神秘事件的主人公克里斯托弗最喜欢的 A-level 数学考试题要求证明边长为、和（其中）的三角形是直角三角形，并且逆定理不成立（Haddon 2003，第 214 页和 223-226 页）。

直角三角形的边长构成所谓的勾股数。不是直角三角形的三角形有时称为斜三角形。直角三角形的特殊情况包括等腰直角三角形（中间图）和 30-60-90 三角形（右图）。

对于直角三角形边上的任意三个相似形状的面积，

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这等价于勾股定理。

对于边长为、和斜边的直角三角形，面积简单地为

(3)

内切圆半径可以通过将三角形的面积与三个三角形、和的面积之和相等来找到，其中内切圆半径作为高，给出

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求解则得到

(5)

这也可以写成等价形式

			(6)
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直角三角形的斜边是三角形外接圆的直径，因此外接圆半径由下式给出

(8)

本原直角三角形是具有整数边、和且满足的直角三角形，其中是最大公约数。值集随后被称为本原勾股数。

对于边长为整数的直角三角形，任何本原勾股数都可以写成

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			(11)

使用这些，方程 (6) 变为

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当和为整数时，这是一个整数 (Ogilvy and Anderson 1988, p. 68)。

给定一个直角三角形，从直角画高线。那么三角形和相似。

在直角三角形中，斜边的中点与三个多边形顶点等距 (Dunham 1990)。可以如下证明。给定，令为的中点（使得）。画，那么由于类似于，因此得出。由于和都是直角三角形且对应直角边相等，斜边也相等，因此我们有，定理得证。

此外，三角形的三角形中线和高线是关于的角平分线的反射，当且仅当是直角三角形时成立 (G. McRae, 私人通信, 2006 年 5 月 1 日)。

费马展示了如何构造任意数量的等面积非本原直角三角形。勾股数的分析表明，由三元组生成的直角三角形具有共同的面积

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（Beiler 1966，第 126-127 页）。此函数的唯一极值出现在处。由于对于，三个非本原直角三角形共享的最小面积由给出，这导致面积为 840，对应于三元组 (24, 70, 74)、(40, 42, 58) 和 (15, 112, 113) (Beiler 1966, p. 126)。人们还可以找到具有相同面积的四组直角三角形。具有已知最小面积的四元组是 (111, 6160, 6161)、(231, 2960, 2969)、(518, 1320, 1418)、(280, 2442, 2458)，面积为 (Beiler 1966, p. 127)。Guy (1994) 提供了更多信息。

还可以找到具有相同周长的三组和四组直角三角形 (Beiler 1966, pp. 131-132)。

在给定的直角三角形中，可以构造一个无限的交替位于斜边和最长直角边上的正方形序列，如上图所示。这些创建了一个越来越小的相似直角三角形序列。设原始三角形的直角边长度为和，斜边长度为。另定义

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			(16)

那么第个正方形的边长为

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将左上角的三角形编号为 1，然后通过沿着相邻顶点的“条带”三角形对其余部分进行编号。那么这些三角形的边长为

		${s_((n+1)/2) for n odd; (ab)/cx^(n/2) for n even$	(18)
		${(b^2)/ax^((n+1)/2) for n odd; (b^2)/cx^(n/2) for n even$	(19)
		${(bc)/ax^((n+1)/2) for n odd; s_(n/2) for n even.$	(20)

相应三角形的内切圆半径可以从下式找到

(21)

给出

$r_n={b/ayx^((n+1)/2) for n odd; b/cyx^(n/2) for n even.$

(22)

来自宫城县 1913 年的算额问题询问了第一、第三和第五个内切圆半径之间的关系 (Rothman 1998)。这可以使用基本的三角学以及上面给出的显式方程来解决，并且具有解

(23)

参见

30-60-90 三角形, 锐角三角形, 阿基米德中点定理, 布罗卡尔中点, 股, 圆点中点定理, Dom, 欧拉-格尔贡-索迪三角形, 费马直角三角形定理, 斜边, 等腰直角三角形, 等腰三角形, 直角边, 马尔法蒂问题, 斜三角形, 钝角三角形, 本原直角三角形, 勾股三角形, 勾股数, 四边形, RAT-自由集, 直角, 三角形, 三角学在 MathWorld 课堂中探索这个主题

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参考文献

Beiler, A. H. "The Eternal Triangle." Ch. 14 in Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. New York: Dover, 1966.Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 121, 1987.Dunham, W. Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics. New York: Wiley, pp. 120-121, 1990.Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 160-161, 1984.Guy, R. K. "Triangles with Integer Sides, Medians, and Area." §D21 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 188-190, 1994.Haddon, M. The Curious Incident of the Dog in the Night-Time. New York: Vintage, 2003.Kern, W. F. and Bland, J. R. Solid Mensuration with Proofs, 2nd ed. New York: Wiley, p. 2, 1948.Ogilvy, C. S. and Anderson, J. T. Excursions in Number Theory. New York: Dover, p. 68, 1988.Rothman, T. "Japanese Temple Geometry." Sci. Amer. 278, 85-91, May 1998.Sierpiński, W. Pythagorean Triangles. New York: Academic Press, 1962.Whitlock, W. P. Jr. "Rational Right Triangles with Equal Areas." Scripta Math. 9, 155-161, 1943a.Whitlock, W. P. Jr. "Rational Right Triangles with Equal Areas." Scripta Math. 9, 265-268, 1943b.

请引用为

Weisstein, Eric W. “直角三角形。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/RightTriangle.html

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