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内心

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内心 I 是多边形的内切圆或多面体的内切球（如果存在）的中心。对应的内切圆或内切球的半径被称为内半径。

内心可以构造为角平分线的交点。它也是到三角形各边距离相等的内部点。它具有三线坐标 1:1:1，即三角形中心函数

alpha_1=1,
(1)

和齐次重心坐标 (a,b,c)。它是Kimberling 中心 X_1。

对于具有笛卡尔顶点的三角形 (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), 内心的笛卡尔坐标由下式给出

(x_I,y_I)=((ax_1+bx_2+cx_3)/(a+b+c),(ay_1+by_2+cy_3)/(a+b+c)).
(2)

内心和外心之间的距离是 sqrt(R(R-2r)), 其中 R 是外接圆半径，r 是内半径，这个结果被称为欧拉三角形公式。

内心位于内格尔线和索迪线上，并且仅对于等腰三角形位于欧拉线上。内心是亚当斯圆、康威圆和内切圆的中心。它位于达布三次曲线、M'Cay 三次曲线、纽伯格三次曲线、垂足三次曲线和汤姆森三次曲线上。它也位于费尔巴哈双曲线上。

对于等边三角形，外心 O, 三角形重心 G, 九点圆圆心 F, 垂心 H, 和 de Longchamps 点 Z 都与 I 重合。

内心与各个命名中心之间的距离由下式给出

IF=r
(3)
IG=sqrt(-1/(9(a+b+c))(a^3-2ba^2-2ca^2-2b^2a-2c^2a+9bca+b^3+c^3-2bc^2-2b^2c))
(4)
IGe=(4ILr^2)/(a^2-2ab+b^2-2ac-2bc+c^2)
(5)
IH=sqrt(2r^2+4R^2-S_omega)
(6)
IK=1/(a^2+b^2+c^2)sqrt(-1/((a+b+c))(abc(a^4-2ba^3-2ca^3+2b^2a^2+2c^2a^2+bca^2-2b^3a-2c^3a+bc^2a+b^2ca+b^4+c^4-2bc^3+2b^2c^2-2b^3c)))
(7)
IL=1/r(sqrt(a^4-ba^3-ca^3+bca^2-b^3a-c^3a+bc^2a+b^2ca+b^4+c^4-bc^3-b^3c))
(8)
IM=(2(a^2+b^2+c^2)IK)/(a^2-2ab+b^2-2ac-2bc+c^2)
(9)
IN=(2DeltaOI^2)/(abc)
(10)
INa=3IG
(11)
IO=sqrt(R(R-2r))
(12)
=(sqrt(abc(a^3-a^2b+b^3-a^2c+3abc-b^2c-ac^2-bc^2+c^2)))/(4Delta)
(13)
ISp=3/2IG,
(14)

其中 F 是费尔巴哈点, G 是三角形重心, Ge 是格尔贡点, H 是垂心, K 是外心对称点, L 是de Longchamps 点, M 是中点内心, N 是九点圆圆心, Na 是内格尔点, Sp 是Spieker 中心, r 是内半径, R 是外接圆半径, Delta 是三角形面积, 并且 S_omega 是 Conway 三角形符号。

下表总结了作为 Kimberling 中心的命名三角形的内心。

三角形Kimberling内心
反补三角形X_8内格尔点
外法三角形X_3外心
外垂足三角形X_4垂心
外切线三角形X_3外心
切点三角形X_(177)第一中弧点
欧拉三角形X_(946)X_1 和 X_4 的中点
旁心三角形X_(164)旁心三角形的内心
外切三角形X_(40)Bevan 点
第一 Morley 三角形X_(356)第一 Morley 中心
第一 Yff 圆三角形X_1内心
内拿破仑三角形X_2三角形重心
内切三角形X_1内心
Lucas 中心三角形X_(1151)等角共轭点 X_(1131)
中点三角形X_(10)Spieker 中心
垂足三角形X_4垂心
外拿破仑三角形X_2三角形重心
参考三角形X_1内心
第二 Yff 圆三角形X_1内心
Stammler 三角形X_3外心
切线中弧三角形X_1内心
切线三角形X_3外心

一个三角形的内心和旁心构成一个正心组。

内心相对于外接圆的圆幂是

p=(a_1a_2a_3)/(a_1+a_2+a_3)
(15)

（Johnson 1929, p. 190）。

如果三角形 DeltaA_1H_2H_3, DeltaA_2H_3A_1, 和 DeltaA_3H_1H_2 的内心分别是 X_1, X_2, 和 X_3, 那么 X_2X_3 等于且平行于 I_2I_3, 其中 H_i 是垂足，I_i 是三角形的内心。此外，X_1, X_2, X_3, 是 I 关于三角形 DeltaI_1I_2I_3 的边的反射（Johnson 1929, p. 193）。

另请参阅

外心, 圆内接四边形, 旁心, 格尔贡点, 内心三角形, 内切圆, 内半径, 垂心, 正心质心, 内格尔线

使用 探索

参考文献

Carr, G. S. Formulas and Theorems in Pure Mathematics, 2nd ed. New York: Chelsea, p. 622, 1970.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 10, 1967.Dixon, R. Mathographics. New York: Dover, p. 58, 1991.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 182-194, 1929.Kimberling, C. "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle." Math. Mag. 67, 163-187, 1994.Kimberling, C. "Incenter." http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/incenter.html.Kimberling, C. "Encyclopedia of Triangle Centers: X(1)=Incenter." http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X1.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 115-116, 1991.

在 上被引用

内心

请引用为

Weisstein, Eric W. "内心。" 来自 -- 资源。 https://mathworld.net.cn/Incenter.html

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