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内心

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内心 I 是多边形的内切圆或多面体的内切球（如果存在）的中心。对应的内切圆或内切球的半径被称为内半径。

内心可以构造为角平分线的交点。它也是到三角形各边距离相等的内部点。它具有三线坐标 1:1:1，即三角形中心函数

alpha_1=1,
(1)

和齐次重心坐标 (a,b,c)。它是Kimberling 中心 X_1。

对于具有笛卡尔顶点的三角形 (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), 内心的笛卡尔坐标由下式给出

(x_I,y_I)=((ax_1+bx_2+cx_3)/(a+b+c),(ay_1+by_2+cy_3)/(a+b+c)).
(2)

内心和外心之间的距离是 sqrt(R(R-2r)), 其中 R 是外接圆半径，r 是内半径，这个结果被称为欧拉三角形公式。

内心位于内格尔线和索迪线上，并且仅对于等腰三角形位于欧拉线上。内心是亚当斯圆、康威圆和内切圆的中心。它位于达布三次曲线、M'Cay 三次曲线、纽伯格三次曲线、垂足三次曲线和汤姆森三次曲线上。它也位于费尔巴哈双曲线上。

对于等边三角形，外心 O, 三角形重心 G, 九点圆圆心 F, 垂心 H, 和 de Longchamps 点 Z 都与 I 重合。

内心与各个命名中心之间的距离由下式给出

IF=r
(3)
IG=sqrt(-1/(9(a+b+c))(a^3-2ba^2-2ca^2-2b^2a-2c^2a+9bca+b^3+c^3-2bc^2-2b^2c))
(4)
IGe=(4ILr^2)/(a^2-2ab+b^2-2ac-2bc+c^2)
(5)
IH=sqrt(2r^2+4R^2-S_omega)
(6)
IK=1/(a^2+b^2+c^2)sqrt(-1/((a+b+c))(abc(a^4-2ba^3-2ca^3+2b^2a^2+2c^2a^2+bca^2-2b^3a-2c^3a+bc^2a+b^2ca+b^4+c^4-2bc^3+2b^2c^2-2b^3c)))
(7)
IL=1/r(sqrt(a^4-ba^3-ca^3+bca^2-b^3a-c^3a+bc^2a+b^2ca+b^4+c^4-bc^3-b^3c))
(8)
IM=(2(a^2+b^2+c^2)IK)/(a^2-2ab+b^2-2ac-2bc+c^2)
(9)
IN=(2DeltaOI^2)/(abc)
(10)
INa=3IG
(11)
IO=sqrt(R(R-2r))
(12)
=(sqrt(abc(a^3-a^2b+b^3-a^2c+3abc-b^2c-ac^2-bc^2+c^2)))/(4Delta)
(13)
ISp=3/2IG,
(14)

其中 F 是费尔巴哈点, G 是三角形重心, Ge 是格尔贡点, H 是垂心, K 是外心对称点, L 是de Longchamps 点, M 是中点内心, N 是九点圆圆心, Na 是内格尔点, Sp 是Spieker 中心, r 是内半径, R 是外接圆半径, Delta 是三角形面积, 并且 S_omega 是 Conway 三角形符号。

下表总结了作为 Kimberling 中心的命名三角形的内心。

三角形Kimberling内心
反补三角形X_8内格尔点
外法三角形X_3外心
外垂足三角形X_4垂心
外切线三角形X_3外心
切点三角形X_(177)第一中弧点
欧拉三角形X_(946)X_1 和 X_4 的中点
旁心三角形X_(164)旁心三角形的内心
外切三角形X_(40)Bevan 点
第一 Morley 三角形X_(356)第一 Morley 中心
第一 Yff 圆三角形X_1内心
内拿破仑三角形X_2三角形重心
内切三角形X_1内心
Lucas 中心三角形X_(1151)等角共轭点 X_(1131)
中点三角形X_(10)Spieker 中心
垂足三角形X_4垂心
外拿破仑三角形X_2三角形重心
参考三角形X_1内心
第二 Yff 圆三角形X_1内心
Stammler 三角形X_3外心
切线中弧三角形X_1内心
切线三角形X_3外心

一个三角形的内心和旁心构成一个正心组。

内心相对于外接圆的圆幂是

p=(a_1a_2a_3)/(a_1+a_2+a_3)
(15)

（Johnson 1929, p. 190）。

如果三角形 DeltaA_1H_2H_3, DeltaA_2H_3A_1, 和 DeltaA_3H_1H_2 的内心分别是 X_1, X_2, 和 X_3, 那么 X_2X_3 等于且平行于 I_2I_3, 其中 H_i 是垂足，I_i 是三角形的内心。此外，X_1, X_2, X_3, 是 I 关于三角形 DeltaI_1I_2I_3 的边的反射（Johnson 1929, p. 193）。

另请参阅

外心, 圆内接四边形, 旁心, 格尔贡点, 内心三角形, 内切圆, 内半径, 垂心, 正心质心, 内格尔线

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参考文献

Carr, G. S. Formulas and Theorems in Pure Mathematics, 2nd ed. New York: Chelsea, p. 622, 1970.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 10, 1967.Dixon, R. Mathographics. New York: Dover, p. 58, 1991.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 182-194, 1929.Kimberling, C. "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle." Math. Mag. 67, 163-187, 1994.Kimberling, C. "Incenter." http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/incenter.html.Kimberling, C. "Encyclopedia of Triangle Centers: X(1)=Incenter." http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X1.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 115-116, 1991.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

内心

请引用为

Weisstein, Eric W. "内心。" 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Incenter.html

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