Kiepert 双曲线

Kiepert 双曲线是一个双曲线和三角形圆锥曲线，它与勒穆瓦纳问题的解及其推广到在给定三角形的边上构造等腰三角形有关。

构造的三角形的顶点在三线坐标中由下式给出

			(1)
			(2)
			(3)

其中 是等腰三角形的底角。

Kiepert (1869) 表明，连接给定三角形的顶点和相应的等腰三角形的顶点的直线共点。 交点的三线坐标是

(4)

当底角变化时，该点的轨迹由具有三线坐标的曲线给出

(5)

或等价地

(6)

(Kimberling 1998, p. 237)。 这条曲线是一个直角双曲线，称为 Kiepert 双曲线。

Kiepert 中心是 Kimberling 中心 ，它具有等价的三角形中心函数

			(7)
			(8)

(Kimberling 1998, p. 86)。

Kiepert 双曲线通过 Kimberling 中心 ，对于 ，(三角形重心)，4 (垂心)，10 (Spieker 中心；即， 的中点三角形的内心； Eddy 和 Fritsch 1994)，13 (第一费马点)，14 (第二费马点)，17 (第一拿破仑点)，18 (第二拿破仑点)，76 (第三布罗卡点)，83 (等角共轭点的布罗卡中点； Eddy 和 Fritsch 1994)，94, 96, 98 (塔里点)，226, 262, 275, 321, 485 (外 Vecten 点)，486 (内 Vecten 点)，598, 671, 801, 1029, 1131, 1132, 1139 (内五边形点)，1140 (外五边形点)，1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593, 2671 (第一黄金 Arbelos 点), 2672 (第二黄金 Arbelos 点), 2986, 和 2996

下表总结了这些点的子集及其对应的角 (Eddy 和 Fritsch 1994, p. 193; Kimberling 1998, pp. 176-178 和 237)。 这里， 是布罗卡角。

Kimberling 中心	三角形中心
	顶点
	顶点
	顶点
	三角形重心	0
	垂心
	Spieker 中心
	第一费马点
	第二费马点
	第三布罗卡点
	等角共轭点的布罗卡中点

Eddy 和 Fritsch (1994) 也表明 Kiepert 双曲线通过Spieker 中心。

Kiepert 双曲线的渐近线是布罗卡轴与外接圆的交点的西姆森线。

Kiepert 双曲线的等角共轭是布罗卡轴，而等张共轭是通过三角形重心 和外心 的直线 。

将三线坐标写成

(9)

其中 是到长度为 的边 对边的距离，并使用点到线距离公式，其中 写成 ,

(10)

其中 和 给出公式

			(11)
			(12)

将此方程化为公分母，然后得到关于 和 的二次方程，这是一个圆锥曲线（实际上是一个双曲线）。 该曲线也可以写成 ，当 在 上变化时。