垂心三角形

给定一个三角形 ，顶点为从 的每个顶点引出的高的端点的三角形 被称为垂心三角形，或有时称为高三角形。 三条线 ， 和 在 的垂心 处共点。

因此，垂心三角形既是关于 的垂足三角形，也是塞瓦三角形 (Kimberling 1998, p. 156)。 它也是三角形质心 的等 Cevian 三角形。

它的三线顶点矩阵是

垂心三角形的面积由下式给出

其中 是 的外接圆半径。

在给定的锐角三角形中内接的任何三角形中，垂心三角形具有最小周长 (Johnson 1929, pp. 161-165)。 垂心三角形的边长由下式给出

垂心三角形的内切圆半径是

其中 是参考三角形的外接圆半径 (Johnson 1929, p. 191)，并且外接圆半径是

对于钝角三角形或直角三角形，半周长是

在锐角三角形的情况下简化为

其中 是 的三角形面积，并且 (Johnson 1929, p. 191)。

给定一个三角形 ，构造垂心三角形 并分别确定 、 和 的外心点 、 和 。 然后，角三角形 的 -外心线是三角形 的 -中线，对于 (Honsberger 1995, p. 75) 也是如此。 此外，角三角形 的 -中线是三角形 的 -外心线，对于其他两个角三角形也是如此。

最后，三个角三角形 、 和 的 欧拉线 穿过 欧拉点，并在三角形 的 九点圆 上的点 处交汇，使得以下条件之一成立

(Thébault 1947, 1949; Thébault et al. 1951)。

垂心三角形的边与 外接圆 在顶点处的切线平行 (Johnson 1929, p. 172)。 这等效于以下陈述：从三角形的外心到顶点的每条线始终垂直于垂心三角形的对应边 (Honsberger 1995, p. 22)，以及垂心三角形和切线三角形在 Kimberling 中心 处是位似的。

垂心三角形的三角形质心具有三角形中心函数

(Casey 1893, Kimberling 1994)，即 Kimberling 中心 。

(Casey 1893, Kimberling 1994)，即 Kimberling 中心 。

下表给出了垂心三角形的中心，以参考三角形的中心表示，这些中心对应于 Kimberling 中心 。