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三角形重心

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Centroid

几何重心 (质心) 是 多边形顶点 构成的 三角形 的点 G (有时也表示为 M)，它也是 三角形 三条 三角形中线 的交点 (Johnson 1929, p. 249; Wells 1991, p. 150)。因此，这个点有时被称为中线点。重心始终位于 三角形 的内部。它具有等价的 三角形中心函数

alpha=1/a
(1)
alpha=bc
(2)
alpha=cscA,
(3)

和齐次 重心坐标 (1,1,1)。它是 Kimberling 中心 X_2。

重心满足

AG^2+BG^2+CG^2=1/3(a^2+b^2+c^2).
(4)

具有三线性顶点 p_i:q_i:r_i，其中 i=1, 2, 3 的三角形的重心由下式给出

(p_1)/(ap_1+bq_1+cr_1)+(p_2)/(ap_2+bq_2+cr_2)+(p_3)/(ap_3+bq_3+cr_3) :(q_1)/(ap_1+bq_1+cr_1)+(q_2)/(aq_2+bq_2+cr_2)+(q_3)/(ap_3+bq_3+cr_3) :(r_1)/(ap_1+bq_1+cr_1)+(r_2)/(ap_2+bq_2+cr_2)+(r_3)/(ap_3+bq_3+cr_3)
(5)

(P. Moses, 私人通信, Sep. 7, 2005)。

下表总结了作为 Kimberling 中心的命名三角形的三角形重心。

三角形Kimberling三角形重心
反补三角形X_2三角形重心
外法线三角形X_3外心
外切三角形X_3外心
切点三角形X_(354)Weill 点
欧拉三角形X_(381)X_2 和 X_4 的中点
旁心三角形X_(165)旁心三角形的重心
外切圆切点三角形X_(210)X_(10)-Ceva 共轭点 of X_(37)
第一 Brocard 三角形X_2三角形重心
第一 Morley 三角形X_(356)第一 Morley 中心
第一 Neuberg 三角形X_2三角形重心
内心三角形X_(1962)pu(32) 的双心和
内 Napoleon 三角形X_2三角形重心
内 Vecten 三角形X_2三角形重心
中点三角形X_2三角形重心
垂足三角形X_(51)垂足三角形的重心
外 Napoleon 三角形X_2三角形重心
外 Vecten 三角形X_2三角形重心
参考三角形X_2三角形重心
第二 Neuberg 三角形X_2三角形重心
Stammler 三角形X_3外心
切线三角形X_(154)X_3-Ceva 共轭点 of X_6
CentroidSideRatioCevians

如果 三角形 DeltaA_1A_2A_3 的边被点 P_1, P_2, 和 P_3 分割，使得

(A_2P_1^_)/(P_1A_3^_)=(A_3P_2^_)/(P_2A_1^_)=(A_1P_3^_)/(P_3A_2^_)=p/q,
(6)

那么 三角形 DeltaP_1P_2P_3 的重心 G_P 仅仅是 G_A，即原始三角形 DeltaA_1A_2A_3 的重心 (Johnson 1929, p. 250)。

BrocardCentroidLemoine

一条 Brocard 线，一条 三角形中线 和一条 西梅迪安 (每种三条中的一条) 是 共点 的，其中 AOmega，CK 和 BG 交于一点，其中 Omega 是第一 Brocard 点，K 是 西梅迪安点。类似地，AOmega^'，BG 和 CK，其中 Omega^' 是第二 Brocard 点，也交于一点，该点是第一个点的 等角共轭点 (Johnson 1929, pp. 268-269)。

选择一个内部点 X。三角形 BXC，CXA 和 AXB 具有相等的面积，当且仅当 X 对应于重心时。重心位于每个 多边形顶点 到对边 中点 的 2/3 处。每条中线将三角形分成两个面积相等的部分；所有中线一起将其分成六个相等的部分，并且从重心到 多边形顶点 的线将整个三角形分成三个等价的 三角形。一般来说，对于 三角形 ABC 平面上的任何直线，

d=1/3(d_A+d_B+d_C),
(7)

其中 d, d_A, d_B, 和 d_C 是从重心和 多边形顶点 到直线的距离。

三角形 将在重心处以及沿任何穿过重心的直线保持平衡。重心的 三线极线 称为 Lemoine 轴。从重心出发的 垂线 与 s_i^(-1) 成比例，

a_1p_2=a_2p_2=a_3p_3=2/3Delta,
(8)

其中 Delta 是 三角形 的 面积。设 P 为任意点，多边形顶点 为 A_1, A_2 和 A_3，重心为 G。那么

PA_1^2+PA_2^2+PA_3^2=GA_1^2+GA_2^2+GA_3^2+3PG^2.
(9)

如果 O 是三角形重心的 外心，则

OG^2=R^2-1/9(a^2+b^2+c^2).
(10)

到各个命名中心的距离包括

GI=sqrt(-1/(18s)(a^3-2ba^2-2ca^2-2b^2a-2c^2a+9bca+b^3+c^3-2bc^2-2b^2c))
(11)
GH=2/3OH
(12)
GO=1/3OH
(13)
GK=1/(3(a^2+b^2+c^2))(sqrt(-a^6+3b^2a^4+3c^2a^4+3b^4a^2+3c^4a^2-15b^2c^2a^2-b^6-c^6+3b^2c^4+3b^4c^2))
(14)
GL=4/3OH
(15)
GN=1/6OH
(16)
GNa=2IG
(17)
GSp=1/2IG,
(18)

其中 I 是 内心，H 是 垂心，O 是 外心，K 是 西梅迪安点，L 是 de Longchamps 点，N 是 九点中心，Na 是 Nagel 点，以及 Sp 是 Spieker 中心。

重心位于 欧拉线 和 Nagel 线 上。三角形 周长 的重心是三角形的 Spieker 中心 (Johnson 1929, p. 249)。三角形的 西梅迪安点 是其 垂足三角形 的重心 (Honsberger 1995, pp. 72-74)。

MittenpunktCollinear

Gergonne 点 Ge，三角形重心 G 和 Mittenpunkt M 是 共线 的，且 GeG:GM=2:1。

CentroidCircles

给定一个三角形 DeltaABC，构造通过每对顶点且也通过三角形重心 G 的圆。三角形 DeltaA^'B^'C^' 由这些圆的圆心确定，然后满足许多有趣的性质。第一个是 O 的 外接圆 和三角形重心 G 的 DeltaABC 分别是三角形重心 G^' 和三角形 DeltaA^'B^'C^' 的 西梅迪安点 K^' (Honsberger 1995, p. 77)。此外，DeltaABC 和 DeltaA^'B^'C 的 三角形中线 在 DeltaABC 边线的中点处 相交。

另请参阅

外心, 欧拉线, 外中点, 内心, Nagel 线, 垂心

在 上探索

参考文献

Carr, G. S. Formulas and Theorems in Pure Mathematics, 2nd ed. New York: Chelsea, p. 622, 1970.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 7, 1967.Dixon, R. Mathographics. New York: Dover, pp. 55-57, 1991.Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 72-74 and 77, 1995.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 173-176, 249-250, and 268-269, 1929.Kimberling, C. "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle." Math. Mag. 67, 163-187, 1994.Kimberling, C. "Centroid." http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/centroid.html.Kimberling, C. "Encyclopedia of Triangle Centers: X(2)=Centroid." http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X2.Lachlan, R. An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. London: Macmillian, pp. 62-63, 1893.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 150, 1991.

参考内容

三角形重心

引用为

Weisstein, Eric W. "三角形重心。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TriangleCentroid.html

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