Symmedian Point (中点)

Symmedian Point (中点) 是 的 symmedian 线 的交点，有时也称为 Lemoine 点（在英国和法国）或 Grebe 点（在德国）。等效地，symmedian 点是 等角共轭点，是 三角形质心 的等角共轭点。换句话说，设 为 三角形 三角形 的 三角形质心，、 和 为 的中线，、 和 为 角 角平分线 、、 和 、 和 为 、 和 关于 、 和 的反射。那么 是线条 、 和 的交点。根据 Honsberger（1995 年，第 53 页），symmedian 点是“现代几何的皇冠上的宝石之一”。symmedian 点是 Kimberling 中心 。

symmedian 点具有等效的 三角形中心函数 和

(1)

(Honsberger 1995, p. 75), 或

(2)

在 精确的三线性坐标 中，symmedian 点是 为最小值的点 (Honsberger 1995, pp. 75-76)。一个中心 是其自身 垂足三角形 的 三角形质心 当且仅当 它是 symmedian 点。symmedian 点是一个 三角形 及其 切线三角形 的透视中心。

下表总结了作为 Kimberling 中心的命名三角形的 symmedian 点。

三角形	Kimberling	给定三角形的 symmedian 点
反补三角形		反补三角形的 symmedian 点
外接圆弧中点三角形		和 的中点
外心-中线三角形		三线性商
外法三角形		外心
外切三角形		外心
切点三角形		Gergonne 点
D-三角形		symmedian 点
旁心三角形		Mittenpunkt
第一 Morley 三角形		第一 Morley 中心
第一 Yff 圆三角形		线 和 的交点
内 Napoleon 三角形		三角形质心
中线三角形		补点 的 symmedian 点
垂心三角形		垂心三角形的 symmedian 点
外 Napoleon 三角形		三角形质心
参考三角形		symmedian 点
第二 Yff 圆三角形		线 和 的交点
Stammler 三角形		外心
切线三角形		切线三角形的 symmedian 点
第二 Brocard 三角形		的调和点

在上面的图中， 是 symmedian 点，

(3)

(Honsberger 1995, p. 76).

symmedian 点位于 Brocard 轴 和 Fermat 轴 上。它位于 Brocard 圆 上，并且是 余弦圆 的中心。它也位于 Jerabek 双曲线 和 Thomson 三次曲线 上。

它从 到 三角形 各边的距离是

(4)

其中 是 Brocard 角。

到其他一些命名的三角形中心的距离由下式给出

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

其中 是 三角形质心， 是 垂心， 是 内心， 是 mittenpunkt， 是 外心。

一条 Brocard 线、三角形中线 和 symmedian 线（每种线中的一条）是 共点 的，其中 、 和 交于一点，其中 是第一个 Brocard 点， 是 三角形质心。类似地，、 和 ，其中 是第二个 Brocard 点，交于一点，该点是第一个点的 等角共轭点 (Johnson 1929, pp. 268-269)。

连接任意一边的 中点 到该边上 高 的中点的线通过 （左图）。特别是，直角三角形 的 symmedian 点是到 斜边 的 高 的 中点（右图；Honsberger 1995, p. 59）。symmedian 点 是第一个 Brocard 三角形 的 Steiner 点。

给定一个三角形 ，构造三角形 ，该三角形是通过从每个顶点延伸穿过 的 symmedian 点的线与 的 外接圆 的交点获得的。那么 的 symmedian 点再次是 (Honsberger 1995, p. 77)。

在三角形的两个顶点处与 外接圆 的切线相交于从第三个顶点发出的 symmedian 线 (Honsberger 1995, pp. 60-61)。三角形的 Gergonne 点 是其 切点三角形 的 symmedian 点 (Honsberger 1995, pp. 62-63)。三角形的 symmedian 点是其 垂足三角形 的 三角形质心。最后，symmedian 点的 垂足三角形 的边长与原始三角形的 三角形中线 的长度成比例 (Honsberger 1995, p. 77)。