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等角共轭

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IsogonalTheorem

点 X 关于 三角形 DeltaABC 平面的等角共轭 X^(-1) 是通过反射直线 AX、 BX 和 CX 关于 A、 B 和 C 处的 角平分线 来构造的。然后，这三条反射线在等角共轭点处 共点 (Honsberger 1995, pp. 55-56)。在较早的文献中，等角共轭点也称为对位点 (Gallatly 1913)、Gegenpunkte (Gallatly 1913) 和焦点对 (Morley 1954)。

具有坐标的点的等角共轭的 三线坐标

alpha:beta:gamma
(1)

是

alpha^(-1):beta^(-1):gamma^(-1).
(2)

以下标签列出了一些等角共轭点对。

三角形中心等角共轭
外心 O垂心 H
克劳森点X_(63)
德朗尚点X_(64)
费尔巴哈点X_(59)
第一布罗卡点 Omega第二布罗卡点 Omega^'
第一费马点 X第一等力点 S
第一等力点 S第一费马点 X
热尔岗点X_(55)
内心 I内心 I
第二拿破仑点X_(62)
等角中点中点 M
科斯尼塔点 Ko九点中心 N
中点 M等角中点
纳格尔点 NaX_(56)
九点中心科斯尼塔点 Ko
垂心 H外心 O
垂足三角形的垂心X_(96)
第一拿破仑点X_(61)
希夫勒点切点三角形的垂心
第二布罗卡点 Omega^'第一布罗卡点 Omega
第二费马点 X^'第二等力点 S^'
第二等力点 S^'第二费马点 X^'
斯皮克中心 SpX_(58)
外心对称点 K三角形重心 G
垂足三角形的外心对称点X_(97)
第三布罗卡点 Omega^('')第三幂心
三角形重心 G外心对称点 K
IsogonalTriangles

在上图中，P 和 Q 是等角共轭点，

x/y=s/r
(3)

(Honsberger 1995, pp. 54-55)。

等角共轭将 三角形 的内部映射到自身。此映射将直线转换为 外接圆锥曲线。圆锥曲线的类型取决于直线 d 是否与 外接圆 C^' 相交，

1. 如果 d 不与 C^' 相交，则 等角变换 是 椭圆；

2. 如果 d 与 C^' 相切，则变换是 抛物线；

3. 如果 d 与 C^' 相交，则变换是 双曲线，如果该线穿过 外心，则为 直角双曲线

(Casey 1893, Vandeghen 1965)。

外接圆 上一点的等角共轭是 无穷远点（反之亦然）。一个点的 垂足三角形 的边 垂直于 相应的 多边形顶点 与等角共轭的连接线。一组点的等角共轭是其等角共轭点的 轨迹。

等张 共轭和等角共轭的乘积是 射影变换，它将 三角形 的边变换为其自身 (Vandeghen 1965)。

另请参阅

反极三角形, 射影变换, 等角线, 等角中点, 等角变换, 等张共轭, 无穷远线, 外心对称线

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参考文献

Barrow, D. F. "A Theorem about Isogonal Conjugates." Amer. Math. Monthly 20, 251-253, 1913.Casey, J. "Theory of Isogonal and Isotomic Points, and of Antiparallel and Symmedian Lines." Supp. Ch. §1 in A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 165-173, 1888.Casey, J. A Treatise on the Analytical Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, Containing an Account of Its Most Recent Extensions with Numerous Examples, 2nd rev. enl. ed. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., 1893.Coolidge, J. L. A Treatise on the Geometry of the Circle and Sphere. New York: Chelsea, p. 49, 1971.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 93, 1967.Eddy, R. H. and Fritsch, R. "The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle." Math. Mag. 67, 188-205, 1994.Gallatly, W. "Counter Points." Ch. 9 in The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. London: Hodgson, pp. 57 and 74-85, 1913.Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 53-57, 1995.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 153-158, 1929.Kimberling, C. "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle." Math. Mag. 67, 163-187, 1994.Lachlan, R. §10 in An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. London: Macmillian, pp. 55-57, 1893.Morley, F. and Morley, F. V. Inversive Geometry. New York: Ginn, 1954.Sigur, S. "Where are the Conjugates?" Forum Geom. 5, 1-15, 2005. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200501index.html.Vandeghen, A. "Some Remarks on the Isogonal and Cevian Transforms. Alignments of Remarkable Points of a Triangle." Amer. Math. Monthly 72, 1091-1094, 1965.

在 Wolfram|Alpha 中引用

等角共轭

请引用为

Weisstein, Eric W. "等角共轭。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/IsogonalConjugate.html

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