圆内接四边形

圆内接四边形是一个可以外接一个圆的四边形，使得圆接触到每个多边形顶点。一个既可以内接于一个圆，又可以外切于另一个圆的四边形被称为双心四边形。

圆内接四边形的面积对于任何具有给定边长的四边形来说是最大的。圆内接四边形的对角之和为 弧度（欧几里得，《几何原本》第三卷，命题 22；Heath 1956；Dunham 1990，第 121 页）。如果圆内接四边形的外心位于四边形内部，则存在一条封闭的台球路径（Wells 1991，第 11 页）。

面积然后由婆罗摩笈多公式的一个特例给出。设边长为 , , , 和 ，设 为半周长

(1)

设 为外接圆半径。则

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第一个公式被称为婆罗摩笈多公式。解 (2) 和 (3) 中的外接圆半径，得到

(4)

圆内接四边形的对角线长度为

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因此 。

一般来说，存在三个本质上不同的圆内接四边形（模旋转和反射），它们的边是长度 , , , 和 的排列。在六个对应的多边形对角线长度中，有三个是不同的。除了 和 之外，因此还有一个可以表示为 的“第三”多边形对角线。它由以下方程给出

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这使得面积公式可以写成特别优美和简单的形式

(8)

多边形对角线有时也表示为 , , 和 。

组成圆内接四边形的四个三角形的内心构成一个矩形。此外，矩形的边与连接每对顶点之间弧中点的线平行（左图；Fuhrmann 1890，第 50 页；Johnson 1929，第 254-255 页；Wells 1991）。如果将构成四边形的三角形的外心添加到内心，则得到一个 矩形网格（右图；Johnson 1929，第 255 页；Wells 1991）。

再次考虑圆内接四边形中包含的四个三角形。令人惊讶的是，由这些三角形形成的三角形重心 , 九点圆圆心 , 和垂心 与原始四边形相似。事实上，由垂心形成的三角形与它全等（Wells 1991，第 44 页）。

一个具有有理数边 , , , 和 ，多边形对角线 和 ，外接圆半径 ，以及面积 的圆内接四边形由 , , , , , , , 和 给出。

设 是一个四边形，使得角 和 是直角，则 是一个圆内接四边形（Dunham 1990）。这是一个推论，源于在直角三角形中，斜边的中点到三个顶点等距的定理。由于 是直角三角形 和 的中点，因此它到所有四个顶点等距，因此可以绘制一个以 为圆心的圆穿过它们。这个定理是海伦推导海伦公式的基石之一。

应用婆罗摩笈多定理得出一个漂亮的结论：对于对角线垂直的圆内接四边形，从外心 到一边的距离是相对边长度的一半，所以在上图中，

(9)

等等（Honsberger 1995，第 37-38 页）。

设 和 是圆内接四边形 的对角线中点，设 是对角线的交点。那么 三角形 的垂心是 的反心 （Honsberger 1995，第 39 页）。

放置四个相等的圆，使它们在一个点相交。那么四边形 是一个圆内接四边形（Honsberger 1991）。对于一个凸圆内接四边形 ，考虑一组凸圆内接四边形 ，其边与 平行。那么具有最大面积的 是多边形对角线垂直的那个（Gürel 1996）。