结

在数学中，结被定义为闭合、非自相交曲线，它嵌入在三维空间中，并且不能解开以产生一个简单的环（即，单结）。虽然在通常用法中，结可以用绳子和粗绳打结，使得一根或多根绳股在结的任一侧保持开放，但数学结理论将这种类型的对象称为“辫子”而不是结。对于数学家来说，只有当一个物体的自由端以某种方式连接起来，使得最终的结构由单根环状绳股组成时，它才是一个结。

结可以推广到链环，它只是一个或多个闭合绳股的打结集合。

对结及其性质的研究被称为结理论。结理论的最初动力来自于开尔文勋爵提出的原子是涡旋环的理论，不同的化学元素由不同的打结构型组成 (Thompson 1867)。P. G. Tait 随后通过试错法编目了可能的结。在过去的几年里，已经取得了很大的进展。

Schubert (1949) 表明，每个结都可以唯一地分解（直到执行分解的顺序）为一类称为素结的结的结和，素结本身不能进一步分解 (Livingston 1993, p. 5; Adams 1994, pp. 8-9)。可以这样分解的结被称为合成结。具有 , 1, ... 个交叉点的不同结（将镜像视为等价）的总数（素结加合成结）是 1, 0, 0, 1, 1, 2, 5, 8, 25, ... (OEIS A086825)。

Klein 证明了结不可能存在于偶数维空间 中。此后，人们已经证明，结不可能存在于任何维度 中。两个不同的结不可能具有相同的结补 (Gordon and Luecke 1989)，但是两个链环可以！(Adams 1994, p. 261)。

结最常见的分类是基于存在的最小交叉点数（所谓的链环交叉数）。Thistlethwaite 使用了Dowker 符号来枚举多达 13 个交叉点的素结，以及多达 14 个交叉点的交错结。在这个汇编中，镜像被算作一种结类型。Hoste et al. (1998) 随后制表了所有多达 16 个交叉点的素结。Hoste 和 Weeks 随后开始编纂 17 个交叉点素结的列表 (Hoste et al. 1998)。

结的另一种可能的表示方法是使用辫群。具有 个交叉点的结是辫群 的成员。

没有通用的算法来确定一个缠结的曲线是否是一个结，或者两个给定的结是否相互锁定。Haken (1961) 和 Hemion (1979) 给出了严格确定两个结是否等价的算法，但即使在简单的情况下，这些算法也过于复杂而无法应用 (Hoste et al. 1998)。

Broden et al. (2024) 证明了所有结都可以嵌入到门格海绵中 (Barber 2024)，证明了每个椒盐卷饼结都可以嵌入到 四联骨牌中，并推测每个结都可以嵌入到四联骨牌中。

下表给出了 到 16 的不同素结、交错结、非交错结、环面结和卫星结的数量 (Hoste et al. 1998)。

	素结	素交错结	素非交错结	环面结	卫星结
Sloane	A002863	A002864	A051763	A051764	A051765
3	1	1	0	1	0
4	1	1	0	0	0
5	2	2	0	1	0
6	3	3	0	0	0
7	7	7	0	1	0
8	21	18	3	1	0
9	49	41	8	1	0
10	165	123	42	1	0
11	552	367	185	1	0
12	2176	1288	888	0	0
13	9988	4878	5110	1	2
14	46972	19536	27436	1	2
15	253293	85263	168030	2	6
16	1388705	379799	1008906	1	10

手性非可逆 、 双手性非可逆、 双手性非可逆、手性可逆 和完全双手性且可逆的结 的数量总结在下表中，适用于 到 16 (Hoste et al. 1998)。

Sloane	A051766	A051767	A051768	A051769	A052400
3	0	0	0	1	0
4	0	0	0	0	1
5	0	0	0	2	0
6	0	0	0	2	1
7	0	0	0	7	0
8	0	0	1	16	4
9	2	0	0	47	0
10	27	0	6	125	7
11	187	0	0	365	0
12	1103	1	40	1015	17
13	6919	0	0	3069	0
14	37885	6	227	8813	41
15	226580	0	1	26712	0
16	1308449	65	1361	78717	113

如果一个结是双手性的，则“双手性”为 ，否则为 (Jones 1987)。Arf 不变量被指定为 。辫字用 表示 (Jones 1987)。Conway 结符号 用于表示多达 10 个交叉点的结，由 Rolfsen (1976) 给出。双曲体积由 (Adams et al. 1991; Adams 1994) 给出。辫指数 由 Jones (1987) 给出。Alexander 多项式 在 Rolfsen (1976) 中给出，但 10-083 和 10-086 的多项式被颠倒了 (Jones 1987)。Alexander 多项式根据 Conway 进行了归一化，并以缩写形式 给出，表示 。

多达 10 个交叉点的结的 Jones 多项式 由 Jones (1987) 给出，Jones 多项式 可以从这些多项式计算出来，也可以从 Adams (1994) 中获取多达 9 个交叉点的结的 Jones 多项式（尽管在第一版印刷中，大多数多项式都与错误的结相关联）。Jones 多项式可以以缩写形式 列出，表示 ，并且对应于 Rolfsen 描绘的结或其镜像，以 的较低幂为准。HOMFLY 多项式 和 Kauffman 多项式 F(a,x) 在 Lickorish 和 Millett (1988) 中给出，适用于多达 7 个交叉点的结。M. B. Thistlethwaite 制表了多达 13 个交叉点的结的 HOMFLY 多项式和 Kauffman 多项式 F。