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交错纽结


交错纽结是一种纽结,它拥有一个纽结图,其中交叉上下交替。并非所有交错纽结的纽结图都需要是交错图。

三叶结八字结是交错纽结,所有具有七个或更少交叉口的素纽结也是如此。可以使用Wolfram 语言检查一个纽结是否为交错纽结,方法是使用KnotData[knot,"Alternating"].

下表总结了具有 n 个交叉口的交错和非交错纽结的数量。

类型OEIS计数
交错A0028640, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 18, 41, 123, 367, 1288, 4878, 19536, 85263, 379799, ...
非交错A0517630, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 8, 42, 185, 888, 5110, 27436, 168030, 1008906, ...
NonalternatingKnot

八个交叉口的 3 个非交错纽结是 8_(19)8_(20)8_(21),如上图所示 (Wells 1991)。

泰特纽结猜想之一指出,对于任何简化的交错纽结图,交叉口的数量都是相同的。此外,纽结的简化交错投影具有该纽结任何投影中最少的交叉口数量。Kauffman (1988)、Thistlethwaite (1987) 和 Murasugi (1987) 证明了这两个事实都是正确的。Flype 移动足以在给定交错纽结的所有最小图中传递(Hoste等人 1998)。

如果 K 具有 n 个交叉口的简化交错投影,则 K链环跨度4n。设 c(K)链环交叉数。那么交错纽结 K_1#K_2纽结和)满足

 c(K_1#K_2)=c(K_1)+c(K_2).

事实上,这对于更大的充分纽结类也是成立的,并且被假定适用于所有纽结

据推测,交错纽结的比例随着交叉数的增加呈指数趋于零(Hoste等人 1998),这一说法已被证明对交错链环成立。


另请参见

充分纽结几乎交错链环交错链环Flyping 猜想泰特纽结猜想

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Adams, C. C. 纽结之书:纽结数学理论的入门介绍。 New York: W. H. Freeman, pp. 159-164, 1994.Arnold, B.; Au, M.; Candy, C.; Erdener, K.; Fan, J.; Flynn, R.; Muir, J.; Wu, D.; and Hoste, J. "通过 14 个交叉口制表交错纽结。" ftp://chs.cusd.claremont.edu/pub/knot/paper.TeX.txt.Arnold, B.; Au, M.; Candy, C.; Erdener, K.; Fan, J.; Flynn, R.; Muir, J.; Wu, D.; and Hoste, J. ftp://chs.cusd.claremont.edu/pub/knot/AltKnots/.Erdener, K. and Flynn, R. "Rolfsen 的所有通过 9 个交叉口的交错图表。" ftp://chs.cusd.claremont.edu/pub/knot/Rolfsen_table.final.Hoste, J.; Thistlethwaite, M.; and Weeks, J. "最初的 1701936 个纽结。" Math. Intell. 20, 33-48, Fall 1998.Kauffman, L. "纽结理论中的新不变量。" Amer. Math. Monthly 95, 195-242, 1988.Little, C. N. "八阶和九阶的非交错 +/- 纽结。" Trans. Roy. Soc. Edinburgh 35, 663-664, 1889.Little, C. N. "11 阶的交错 +/- 纽结。" Trans. Roy. Soc. Edinburgh 36, 253-255, 1890.Little, C. N. "非交错 +/- 纽结。" Trans. Roy. Soc. Edinburgh 39, 771-778, 1900.Livingston, C. 纽结理论。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 6, 132, and 219, 1993.Murasugi, K. "琼斯多项式和纽结理论中的经典猜想。" Topology 26, 297-307, 1987.Sloane, N. J. A. 序列 A002864/M0847 和 A051763,来自“整数序列在线百科全书”。Thistlethwaite, M. "琼斯多项式的生成树展开。" Topology 26, 297-309, 1987.Wells, D. 企鹅趣味几何学词典。 London: Penguin, p. 160, 1991.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

交错纽结

请引用为

Weisstein, Eric W. "交错纽结。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AlternatingKnot.html

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