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亚历山大多项式

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亚历山大多项式是 J. W. Alexander (Alexander 1928) 于 1923 年发现的纽结不变量。在 Jones 多项式 于 1984 年被发现之前，亚历山大多项式一直是唯一已知的纽结多项式。与亚历山大多项式不同，更强大的 Jones 多项式在大多数情况下确实可以区分手性。

用术语来说，亚历山大多项式源于纽结补集的无限循环覆盖的同调。 亚历山大理想的任何主理想的生成元都称为亚历山大多项式 (Rolfsen 1976)。由于温顺纽结在 S^3 中的亚历山大不变量具有表示矩阵的方阵，因此其亚历山大理想是主理想，并且它具有表示为 Delta(t) 的亚历山大多项式。

令 Psi 为纽结的辫字的矩阵乘积，则

(det(I-Psi))/(1+t+...+t^(n-1))=Delta_L,
(1)

其中 Delta_L 是亚历山大多项式，det 是行列式。 S^3 中温顺纽结的亚历山大多项式满足

Delta(t)=det(V^(T)-tV),
(2)

其中 V 是 Seifert 矩阵，det 是行列式，V^(T) 表示转置。

亚历山大多项式在 t 和 t^(-1) 中是对称的，并且满足

Delta(1)=+/-1,
(3)

其中约定决定了符号。在这项工作中，使用约定 Delta(1)=+1。数量 |Delta(-1)| 被称为纽结行列式。

记号 [a+b+c+... 是纽结的亚历山大多项式的缩写

a+b(x+x^(-1))+c(x^2+x^(-2))+....
(4)

对于链环，记号也可以扩展，在这种情况下，使用一个或多个矩阵来生成相应的多元亚历山大多项式 (Rolfsen 1976, p. 389)。

Skein

令变量 x 中链环 L 的亚历山大多项式表示为 Delta_L(x)。然后存在 J. H. Conway 发现的骨架关系，

Delta_(L_+)(x)-Delta_(L_-)(x)+(x^(-1/2)-x^(1/2))Delta_(L_0)(x)=0,
(5)

对应于上述链环图 (Adams 1994)。这种关系允许通过将任意纽结构建为一系列上交叉和下交叉来构造亚历山大多项式。

可分链环的亚历山大多项式始终为 0。

令人惊讶的是，已知存在亚历山大多项式为 1 的非平凡纽结的示例，尽管在 10 个或更少交叉的纽结中没有出现此类示例。一个例子是 (-3,5,7)-椒盐卷饼结 (Adams 1994, p. 167)。 Rolfsen (1976, p. 167) 给出了其他四个这样的例子。

J. H. Conway 提出了亚历山大多项式的修改版本。它被各种称为Conway 多项式 (Livingston 1993, pp. 207-215) 或 Conway-亚历山大多项式，并表示为 del _L(x)。它是亚历山大多项式的重新参数化，由下式给出

Delta_L(x^2)=del _L(x-x^(-1)).
(6)

用于Conway 多项式的骨架关系约定是

del _(L_+)(x)-del _(L_-)(x)=xdel _(L_0)(x)
(7)

(Doll 和 Hoste 1991)。

下表给出了常见纽结的亚历山大 Delta 和 Conway del 多项式的示例

纽结 KDelta_K(x)del _K(x)
三叶结x^(-1)-1+xx^2+1
八字结-x^(-1)+3-x1-x^2
所罗门封印结x^(-2)-x^(-1)+1-x+x^2x^4+3x^2+1
码头工人结-2x^(-1)+5-2x1-2x^2
米勒研究所结-x^(-2)+3x^(-1)-3+3x-x^2-x^4-x^2+1

对于纽结，

Delta_K(-1)={1 (mod 8) if Arf(K)=0; 5 (mod 8) if Arf(K)=1,
(8)

其中 Arf 是 Arf 不变量 (Jones 1985)。

HOMFLY 多项式 P(a,z) 推广了亚历山大多项式（以及 Jones 多项式），其中

del (z)=P(1,z)
(9)

(Doll 和 Hoste 1991)。

Rolfsen (1976) 给出了交叉数最多为 10 的纽结和交叉数最多为 9 的链环的亚历山大多项式 Delta（以缩写记号表示）的表格。 Livingston (1993) 给出了交叉数最多为 9 的纽结的亚历山大多项式的明确表格（负幂已清除，初始负号）。

另请参见

辫群, Conway 多项式, Jones 多项式, 纽结, 纽结行列式, 链环, 链环交叉数, 骨架关系

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参考文献

Adams, C. C. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. New York: W. H. Freeman, pp. 165-169, 1994.Alexander, J. W. "Topological Invariants of Knots and Links." Trans. Amer. Math. Soc. 30, 275-306, 1928.Alexander, J. W. "A Lemma on a System of Knotted Curves." Proc. Nat. Acad. Sci. USA 9, 93-95, 1923.Bar-Natan, D. "The Rolfsen Knot Table." http://www.math.toronto.edu/~drorbn/KAtlas/Knots/.Casti, J. L. "The Alexander Polynomial." Ch. 1 in Five More Golden Rules: Knots, Codes, Chaos, and Other Great Theories of 20th-Century Mathematics. New York: Wiley, pp. 1-34, 2000.Doll, H. and Hoste, J. "A Tabulation of Oriented Links." Math. Comput. 57, 747-761, 1991.Jones, V. "A Polynomial Invariant for Knots via von Neumann Algebras." Bull. Amer. Math. Soc. 12, 103-111, 1985.Livingston, C. "Alexander Polynomials." Appendix 2 in Knot Theory. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 229-232, 1993.Murasugi, K. and Kurpita, B. I. A Study of Braids. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1999.Rolfsen, D. "Table of Knots and Links." Appendix C in Knots and Links. Wilmington, DE: Publish or Perish Press, pp. 280-287, 1976.Stoimenow, A. "Alexander Polynomials." http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~stoimeno/ptab/a10.html.Stoimenow, A. "Conway Polynomials." http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~stoimeno/ptab/c10.html.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

亚历山大多项式

引用为

Weisstein, Eric W. "亚历山大多项式。" 来自 MathWorld—— Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/AlexanderPolynomial.html

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