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琼斯多项式

第二个被发现的纽结多项式。与第一个被发现的亚历山大多项式不同，琼斯多项式有时可以区分手性（其更强大的推广，HOMFLY 多项式也可以）。琼斯多项式是以 t 为变量的劳伦多项式，被赋予给 R^3 纽结。琼斯多项式对于链环表示为 V_L(t)，对于纽结表示为 V_K(t)，并被归一化使得

V_(unknot)(t)=1.
(1)

例如，右手和左手三叶结的多项式分别为

V_(trefoil)(t)=t+t^3-t^4
(2)
V_(trefoil^*)(t)=t^(-1)+t^(-3)-t^(-4),
(3)

分别如下。

如果一个链环有奇数个分支，那么 V_L 是整数上的劳伦多项式；如果分支数是偶数，那么 V_L(t) 是 t^(1/2) 乘以一个劳伦多项式。纽结和 L_1#L_2 的琼斯多项式满足

V_(L_1#L_2)=(V_(L_1))(V_(L_2)).
(4)
Skein

下交叉和上交叉的骨架关系是

t^(-1)V_(L_+)-tV_(L_-)=(t^(1/2)-t^(-1/2))V_(L_0).
(5)

结合链环和的关系，这使得琼斯多项式可以从简单的纽结和链环构建到更复杂的。

以下是琼斯 (1985) 提出的一些有趣的恒等式。对于任何链环 L，

V_L(-1)=Delta_L(-1),
(6)

其中 Delta_L 是亚历山大多项式，并且

V_L(1)=(-2)^(p-1),
(7)

其中 p 是 L 的分支数。 对于任何纽结 K，

V_K(e^(2pii/3))=1
(8)

并且

d/(dt)V_K(1)=0.
(9)

令 K^* 表示纽结 K 的镜像。那么

V_(K^*)(t)=V_K(t^(-1)).
(10)

琼斯定义了一个简化的纽结迹不变量为

W_K(t)=(1-V_K(t))/((1-t^3)(1-t)).
(11)

W_K 的 Arf 不变量由下式给出

Arf(K)=W_K(i)
(12)

（琼斯 1985），其中 i 是 sqrt(-1)。琼斯 (1985) 给出了交叉数不超过 8 的纽结的 W 多项式表，琼斯 (1987) 给出了交叉数不超过 10 的纽结的表。（请注意，在这些论文中，琼斯称之为 V 的另一个多项式也被制成表格，但它不是传统定义的琼斯多项式。）

琼斯多项式随后被推广到双变量 HOMFLY 多项式，关系为

V(t)=P(a=t,x=t^(1/2)-t^(-1/2))
(13)
V(t)=P(l=it,m=i(t^(-1/2)-t^(1/2))).
(14)

它们通过以下方式与考夫曼多项式 F 相关

V(t)=F(-t^(-3/4),t^(-1/4)+t^(1/4)).
(15)

琼斯 (1987) 给出了交叉数不超过 10 的纽结的辫字和 W 多项式表。亚当斯 (1994) 给出了交叉数不超过 9 的纽结的琼斯多项式，Doll 和 Hoste (1991) 给出了交叉数不超过 9 的有向链环的琼斯多项式。所有交叉数小于等于 9 的素纽结都具有不同的琼斯多项式。然而，存在不同的纽结（甚至交叉数不同的纽结）具有相同的琼斯多项式。例如，包括 (05-001, 10-132), (08-008, 10-129), (08-016, 10-156), (10-025, 10-056), (10-022, 10-035), (10-041, 10-094), (10-043, 10-091), (10-059, 10-106), (10-060, 10-083), (10-071, 10-104), (10-073, 10-086), (10-081, 10-109) 和 (10-137, 10-155) (琼斯 1987)。（顺便说一句，前四个也具有相同的 HOMFLY 多项式。）

尚不清楚是否存在琼斯多项式为 1 的非平凡纽结。

(m,n)-环面纽结的琼斯多项式是

V(t)=(t^((m-1)(n-1)/2)(1-t^(m+1)-t^(n+1)+t^(m+n)))/(1-t^2).
(16)

令 k 为有向链环 L 的一个分支。现在通过反转 L^* 的方向形成一个新的有向链环 k。

V_(L^*)=t^(-3lambda)V(L),
(17)

其中 V 是琼斯多项式，lambda 是 k 和 L-k 的环绕数。 对于 HOMFLY 多项式，尚不清楚有类似的结果（Lickorish 和 Millett 1988）。

Birman 和 Lin (1993) 表明，将 e^x 的幂级数代入琼斯多项式作为变量会得到一个幂级数，其系数是 Vassiliev 不变量。

令 L 为 n 个交叉点的有向连通链环投影，那么

n>=span V(L),
(18)

如果 L 是交错的且没有可约交叉点，则等号成立（Lickorish 和 Millett 1988）。

Witten (1989) 从拓扑量子场论的角度给出了启发式定义，Sawin (1996) 表明“量子群” U_q(sl_2) 产生了琼斯多项式。

另请参阅

亚历山大多项式, HOMFLY 多项式, 考夫曼多项式 F, 纽结, 链环, Vassiliev 不变量

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参考文献

Adams, C. C. 纽结之书：纽结数学理论的初等介绍。 New York: W. H. Freeman, 1994.Birman, J. S. and Lin, X.-S. "纽结多项式和 Vassiliev 不变量。" Invent. Math. 111, 225-270, 1993.Doll, H. and Hoste, J. "有向链环的制表。" Math. Comput. 57, 747-761, 1991.El-Misiery, A. "计算琼斯多项式的算法。" Appl. Math. Comput. 74, 249-259, 1996.Jones, V. "通过冯·诺依曼代数获得的纽结多项式不变量。" Bull. Am. Math. Soc. 12, 103-111, 1985.Jones, V. "辫群和链环多项式的 Hecke 代数表示。" Ann. Math. 126, 335-388, 1987.Khovanov, M. "琼斯多项式的范畴化。" 30 Aug 1999. http://arxiv.org/abs/math.QA/9908171.Khovanov, M. "琼斯多项式的范畴化。" Duke Math. J. 101, 359-426, 2000.Lickorish, W. B. R. and Millett, B. R. "纽结和链环的新多项式不变量。" Math. Mag. 61, 1-23, 1988.Murasugi, K. "琼斯多项式和纽结理论中的经典猜想。" Topology 26, 297-307, 1987.Murasugi, K. and Kurpita, B. I. 辫子的研究。 Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1999.Praslov, V. V. and Sossinsky, A. B. 纽结、链环、辫子和 3-流形：低维拓扑中新不变量的介绍。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1996.Sawin, S. "链环、量子群和 TQFT。" Bull. Amer. Math. Soc. 33, 413-445, 1996.Stoimenow, A. "琼斯多项式。" http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~stoimeno/ptab/j10.html.Thistlethwaite, M. "琼斯多项式的生成树展开。" Topology 26, 297-309, 1987.Witten, E. "量子场论和琼斯多项式。" Comm. Math. Phys. 121, 351-399, 1989 http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.cmp/1104178138.

在 Wolfram|Alpha 中引用

琼斯多项式

请引用为

Weisstein, Eric W. "琼斯多项式。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/JonesPolynomial.html

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