Vassiliev 不变量,大约在 1989 年被发现,为研究 纽结 提供了一种全新的视角。有限型(又称 Vassiliev)纽结不变量 的概念由 V. Vassiliev 和 M. Goussarov 大约在 1989 年独立发明。Vassiliev 的方法基于对从一个 流形 到另一个流形的 平滑映射 的(无限维)空间中的判别式的研究。根据定义,判别式由所有具有 奇点 的映射组成。
例如,考虑从圆到三维空间的所有平滑映射空间 。如果 是一个 嵌入(即,没有奇点),那么它代表一个纽结。所有纽结集合的补集是判别式 。它由所有从 到 的平滑映射组成,这些映射具有奇点,局部奇点,其中 ,或非局部奇点,其中 不是单射的。两个纽结等价 当且仅当 它们可以通过空间 中不与判别式 相交 的路径连接。因此,纽结类型与补集 的连通分量一一对应,而值在 阿贝尔群 中的 纽结不变量 无非是来自 的 上同调类。过滤 通过对应于具有给定数量 普通双重点 的 奇异纽结 的子空间产生一个 谱序列,其中特别包含有限型不变量的空间。
Birman 和 Lin (1993) 为简化 Vassiliev 的原始技术做出了重大贡献。特别是,他们解释了 琼斯多项式 和有限型不变量之间的关系(Peterson 1992,Birman 和 Lin 1993,Bar-Natan 1995),并强调了 弦图 代数的作用。事实上,将 幂级数 的 幂级数 代入 琼斯多项式 中的变量,得到一个 幂级数,其 系数 是 Vassiliev 不变量 (Birman and Lin 1993)。Kontsevich (1993) 在 Kontsevich 积分 的帮助下证明了关于 Vassiliev 不变量的第一个难题。Bar-Natan 对 Vassiliev 不变量进行了深入研究;特别是,他展示了 Feynman 图和具有单价和三价顶点的图的代数的重要性 (Bar-Natan 1995)。Bar-Natan (1995) 仍然是该主题最权威的来源。
用简单术语表达,Vassiliev 的基本思想是研究 纽结不变量 到 奇异纽结 的延拓——浸入 ,其具有有限数量的 普通双重点。令 表示具有 个双重点且没有其他奇点的 奇异纽结 的 等价类 的集合。以下定义基于一个递归,该递归允许将 纽结不变量 从 扩展到 ,然后到 ,等等,最终扩展到整个 。给定一个纽结不变量 ,其 Vassiliev 延拓 由以下规则定义
1. ,以及
2. Vassiliev 的骨架关系,如下所示。
Vassiliev 的骨架关系的右侧指的是双重点的两种分解——正和负。一个关键的观察是,它们中的每一个都是明确定义的(不依赖于用于表达此关系平面投影)。一个 纽结不变量 被称为阶数 的 Vassiliev 不变量,如果其延拓 在所有具有超过 个双重点的纽结上消失。例如,最简单的非平凡 Vassiliev 不变量 具有以下明确的描述。设 为给定纽结 的任意 纽结图, 为 上的任意一个不同于所有交叉点的指定点。那么
其中,求和遍布所有交叉点对 ,使得 (1) 在从点 开始沿正方向完整旋转图表一周期间,点 和 以 的顺序遇到,并且 (2) 通过这些交叉点的四个对应通道分别是下穿、上跨、上跨和下穿。数字 , 代表点 和 的局部 缠绕数,根据上述图示定义。
结果表明,康威多项式 的第 个系数是 阶 Vassiliev 不变量,特别是,第二个系数与 一致。
Vassiliev 不变量至少与所有已知的多项式纽结不变量一样强大:亚历山大多项式、琼斯多项式、考夫曼多项式 和 HOMFLY 多项式。这意味着如果两个纽结 和 可以通过这样的多项式区分,那么就存在一个 Vassiliev 不变量,它对 和 取不同的值。
所有 -值 Vassiliev 不变量的集合 形成一个有理数上的 向量空间,具有递增的 过滤 。相关的 分级空间 具有 Hopf 代数 的结构,可以解释为 弦图 的代数。
给定度数 的独立 Vassiliev 不变量的数量(即 的维度)对于 到 12 是已知的(Kneissler 1997),并在下表中总结 (A007473)。
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
1 | 1 | 2 | 3 | 6 | 10 | 19 | 33 | 60 | 104 | 184 | 316 | 548 |
所有 Vassiliev 不变量的全体等价于通过 Kontsevich 积分 定义的一个 通用 Vassiliev 不变量。
关于 Vassiliev 不变量的两个最重要的问题在 1990 年被提出,至今仍未得到解答。
1. Vassiliev 不变量是否能区分纽结?换句话说,给定两个不等价的纽结 和 ,是否总是可以指出一个有限型不变量 ,使得 ?
2. Vassiliev 不变量是否可以检测纽结方向?更具体地说,是否存在一个纽结 和一个有限型不变量 ,使得 ,其中 与 的区别在于参数化更改,从而反转了方向?