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Vassiliev 不变量


Vassiliev 不变量,大约在 1989 年被发现,为研究 纽结 提供了一种全新的视角。有限型(又称 Vassiliev)纽结不变量 的概念由 V. Vassiliev 和 M. Goussarov 大约在 1989 年独立发明。Vassiliev 的方法基于对从一个 流形 到另一个流形的 平滑映射 的(无限维)空间中的判别式的研究。根据定义,判别式由所有具有 奇点 的映射组成。

例如,考虑从圆到三维空间的所有平滑映射空间 M={f:S^1->R^3}。如果 f 是一个 嵌入(即,没有奇点),那么它代表一个纽结。所有纽结集合的补集是判别式 Sigma subset M。它由所有从 S^1R^3 的平滑映射组成,这些映射具有奇点,局部奇点,其中 f^'=0,或非局部奇点,其中 f 不是单射的。两个纽结等价 当且仅当 它们可以通过空间 M 中不与判别式 相交 的路径连接。因此,纽结类型与补集 M\Sigma 的连通分量一一对应,而值在 阿贝尔群 G 中的 纽结不变量 无非是来自 H^0(M\Sigma,G)上同调类过滤 Sigma 通过对应于具有给定数量 普通双重点奇异纽结 的子空间产生一个 谱序列,其中特别包含有限型不变量的空间。

Birman 和 Lin (1993) 为简化 Vassiliev 的原始技术做出了重大贡献。特别是,他们解释了 琼斯多项式 和有限型不变量之间的关系(Peterson 1992,Birman 和 Lin 1993,Bar-Natan 1995),并强调了 弦图 代数的作用。事实上,将 幂级数 e^x幂级数 代入 琼斯多项式 中的变量,得到一个 幂级数,其 系数 是 Vassiliev 不变量 (Birman and Lin 1993)。Kontsevich (1993) 在 Kontsevich 积分 的帮助下证明了关于 Vassiliev 不变量的第一个难题。Bar-Natan 对 Vassiliev 不变量进行了深入研究;特别是,他展示了 Feynman 图和具有单价和三价顶点的图的代数的重要性 (Bar-Natan 1995)。Bar-Natan (1995) 仍然是该主题最权威的来源。

用简单术语表达,Vassiliev 的基本思想是研究 纽结不变量奇异纽结 的延拓——浸入 f:S^1->R^3,其具有有限数量的 普通双重点。令 X_n 表示具有 n 个双重点且没有其他奇点的 奇异纽结等价类 的集合。以下定义基于一个递归,该递归允许将 纽结不变量X_0 扩展到 X_1,然后到 X_2,等等,最终扩展到整个 X= union _nX_n。给定一个纽结不变量 v:X_0->Q,其 Vassiliev 延拓 v^^:X->Q 由以下规则定义

1. v^^|_(X_0)=v,以及

2. Vassiliev 的骨架关系,如下所示。

VassilievInvariant
Writhe

Vassiliev 的骨架关系的右侧指的是双重点的两种分解——正和负。一个关键的观察是,它们中的每一个都是明确定义的(不依赖于用于表达此关系平面投影)。一个 纽结不变量 v 被称为阶数 <=n 的 Vassiliev 不变量,如果其延拓 v^^ 在所有具有超过 n 个双重点的纽结上消失。例如,最简单的非平凡 Vassiliev 不变量 v_2 具有以下明确的描述。设 D 为给定纽结 K 的任意 纽结图*D 上的任意一个不同于所有交叉点的指定点。那么

 v_2(K)=sum_(i j i j; UOOU)epsilon_iepsilon_j,

其中,求和遍布所有交叉点对 i,j,使得 (1) 在从点 * 开始沿正方向完整旋转图表一周期间,点 iji,j,i,j 的顺序遇到,并且 (2) 通过这些交叉点的四个对应通道分别是下穿、上跨、上跨和下穿。数字 epsilon_iepsilon_j 代表点 ij 的局部 缠绕数,根据上述图示定义。

结果表明,康威多项式 的第 n 个系数是 n 阶 Vassiliev 不变量,特别是,第二个系数与 v_2 一致。

Vassiliev 不变量至少与所有已知的多项式纽结不变量一样强大:亚历山大多项式琼斯多项式考夫曼多项式HOMFLY 多项式。这意味着如果两个纽结 K_1K_2 可以通过这样的多项式区分,那么就存在一个 Vassiliev 不变量,它对 K_1K_2 取不同的值。

所有 Q-值 Vassiliev 不变量的集合 V= union _nV_n 形成一个有理数上的 向量空间,具有递增的 过滤 Q=V_0 subset V_1 subset V_2 subset ...。相关的 分级空间  direct sum _nV_n/V_(n-1) 具有 Hopf 代数 的结构,可以解释为 弦图 的代数。

给定度数 n 的独立 Vassiliev 不变量的数量(即 V_n 的维度)对于 n=0 到 12 是已知的(Kneissler 1997),并在下表中总结 (A007473)。

n0123456789101112
dimV_n1123610193360104184316548

所有 Vassiliev 不变量的全体等价于通过 Kontsevich 积分 定义的一个 通用 Vassiliev 不变量

关于 Vassiliev 不变量的两个最重要的问题在 1990 年被提出,至今仍未得到解答。

1. Vassiliev 不变量是否能区分纽结?换句话说,给定两个不等价的纽结 K_1K_2,是否总是可以指出一个有限型不变量 v,使得 v(K_1)!=v(K_2)

2. Vassiliev 不变量是否可以检测纽结方向?更具体地说,是否存在一个纽结 K 和一个有限型不变量 v,使得 v(K)!=v(K^_),其中 K^_K 的区别在于参数化更改,从而反转了方向?


另请参阅

弦图, Habiro 移动, 纽结不变量, Kontsevich 积分, 通用 Vassiliev 不变量

此条目由 Sergei Duzhin 贡献

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参考文献

Bar-Natan, D. “Vassiliev 不变量书目。” http://www.ma.huji.ac.il/~drorbn/VasBib/VasBib.html.Bar-Natan, D. “关于 Vassiliev 纽结不变量。” Topology 34, 423-472, 1995.Birman, J. S. “纽结理论的新观点。” Bull. Amer. Math. Soc. 28, 253-287, 1993.Birman, J. S. 和 Lin, X.-S. “纽结多项式和 Vassiliev 不变量。” Invent. Math. 111, 225-270, 1993.Duzhin, S. V. “Vassiliev 不变量和组合结构。” 1999 年 4 月至 7 月在东京大学数学科学研究生院发表的讲座。 http://www.pdmi.ras.ru/~duzhin/Vics/.Goussarov, M. “关于纽结的 n-等价性以及有限度不变量。” 载于 流形和簇的拓扑学 (O. Viro 编辑). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 173-192, 1994.Kneissler, J. “次数高达十二的原始 Vassiliev 不变量的数量。” 1997. http://www.math.uni-bonn.de/people/jk/papers/pvi12.pdf.gz.Kontsevich, M. “Vassiliev 的纽结不变量。” Adv. Soviet Math. 16, Part 2, pp. 137-150, 1993.Peterson, I. “纽结视角:将研究纽结的不同方法联系起来。” Sci. News 141, 186-187, 1992.Prasolov, V. V. 和 Sossinsky, A. B. 纽结、链环、辫子和 3-流形:低维拓扑学新不变量导论。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1996.Sloane, N. J. A. “整数序列在线百科全书”中的序列 A007473/M0765。Stoimenow, A. “3 阶 Vassiliev 不变量。” http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~stoimeno/ptab/vas3.html.Vassiliev, V. A. “纽结空间的同调。” 载于 奇点理论及其应用 (V. I. Arnold 编辑). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 23-69, 1990.Vassiliev, V. A. 平滑映射判别式的补集:拓扑学和应用。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1992.

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Vassiliev 不变量

请这样引用

Duzhin, Sergei. “Vassiliev 不变量。” 来自 MathWorld—— Wolfram Web 资源,由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/VassilievInvariant.html

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