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HOMFLY 多项式

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一个双变量有向纽结多项式 P_L(a,z)，其动机来自 琼斯多项式 (Freyd et al. 1985)。它的名称是其共同发现者的姓氏的首字母缩写：Hoste、Ocneanu、Millett、Freyd、Lickorish 和 Yetter (Freyd et al. 1985)。Prztycki 和 Traczyk (1987) 也进行了与 HOMFLY 多项式相关的独立工作。HOMFLY 多项式由绳结关系定义

a^(-1)P_(L_+)(a,z)-aP_(L_-)(a,z)=zP_(L_0)(a,z)
(1)

(Doll 和 Hoste 1991)，其中 v 有时写成 a (Kanenobu 和 Sumi 1993)，或者关系略有不同，如

alphaP_(L_+)(alpha,z)-alpha^(-1)P_(L_-)(alpha,z)=zP_(L_0)(alpha,z)
(2)

(Kauffman 1991)。它也被定义为 P_L(l,m)，根据绳结关系

lP_(L_+)+l^(-1)P_(L_-)+mP_(L_0)=0
(3)

(Lickorish 和 Millett 1988)。它可以被视为两个变量的非齐次多项式或三个变量的齐次多项式。在三个变量中，绳结关系写成

xP_(L_+)(x,y,z)+yP_(L_-)(x,y,z)+zP_(L_0)(x,y,z)=0.
(4)

它被归一化，使得 P_(unknot)=1。此外，对于 n 个未连接的无结组件，

P_L(x,y,z)=(-(x+y)/z)^(n-1).
(5)

这个多项式通常检测手性，但不能检测纽结 09-042、10-048、10-071、10-091、10-104 和 10-125 的不同对映异构体 (Jones 1987)。如果方向反转，有向纽结的 HOMFLY 多项式是相同的。它是琼斯多项式 V(t) 的推广，满足

V(t)=P(a=t,z=t^(1/2)-t^(-1/2))
(6)
V(t)=P(l=it^(-1),m=i(t^(-1/2)-t^(1/2))).
(7)

它也是亚历山大 (Alexander) 多项式 del (z) 的推广，满足

Delta(z)=P(a=1,z=t^(1/2)-t^(-1/2)).
(8)

一个纽结 K 的镜像 K^* 的 HOMFLY 多项式 由下式给出

P_(K^*)(l,m)=P_K(l^(-1),m),
(9)

因此 P 通常但不总是检测手性。

两个链环的分裂并集（即，将两个链环放在一起而不使它们缠绕）具有 HOMFLY 多项式

P(L_1 union L_2)=-(l+l^(-1))m^(-1)P(L_1)P(L_2).
(10)

此外，两个链环的组合

P(L_1#L_2)=P(L_1)P(L_2),
(11)

因此，多项式 的 复合纽结 分解为其组成纽结的多项式 (Adams 1994)。

突变体 具有相同的 HOMFLY 多项式。事实上，有无数个不同的纽结具有相同的 HOMFLY 多项式 (Kanenobu 1986)。例如包括 (05-001, 10-132)、(08-008, 10-129) (08-016, 10-156) 和 (10-025, 10-056) (Jones 1987)。 顺便说一句，这些也具有相同的 琼斯多项式。

M. B. Thistlethwaite 已经制表了高达 13 个交叉点的纽结的 HOMFLY 多项式。

另请参阅

亚历山大 (Alexander) 多项式, 琼斯多项式, 纽结多项式

使用 探索

参考文献

Adams, C. C. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. New York: W. H. Freeman, pp. 171-172, 1994.Doll, H. and Hoste, J. "A Tabulation of Oriented Links." Math. Comput. 57, 747-761, 1991.Freyd, P.; Yetter, D.; Hoste, J.; Lickorish, W. B. R.; Millett, K.; and Oceanu, A. "A New Polynomial Invariant of Knots and Links." Bull. Amer. Math. Soc. 12, 239-246, 1985.Jones, V. "Hecke Algebra Representations of Braid Groups and Link Polynomials." Ann. Math. 126, 335-388, 1987.Kanenobu, T. "Infinitely Many Knots with the Same Polynomial." Proc. Amer. Math. Soc. 97, 158-161, 1986.Kanenobu, T. and Sumi, T. "Polynomial Invariants of 2-Bridge Knots through 22 Crossings." Math. Comput. 60, 771-778 and S17-S28, 1993.Kauffman, L. H. Knots and Physics. Singapore: World Scientific, p. 52, 1991.Lickorish, W. B. R. and Millett, B. R. "The New Polynomial Invariants of Knots and Links." Math. Mag. 61, 1-23, 1988.Livingston, C. Knot Theory. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 213-217, 1993.Morton, H. R. and Short, H. B. "Calculating the 2-Variable Polynomial for Knots Presented as Closed Braids." J. Algorithms 11, 117-131, 1990.Przytycki, J. and Traczyk, P. "Conway Algebras and Skein Equivalence of Links." Proc. Amer. Math. Soc. 100, 744-748, 1987.Stoimenow, A. "Jones Polynomials." http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~stoimeno/ptab/j10.html.

在 中被引用

HOMFLY 多项式

引用为

Weisstein, Eric W. “HOMFLY 多项式。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HOMFLYPolynomial.html

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