Arf 不变量

Arf 不变量是一个链环不变量，其值始终为 0 或 1。 如果纽结“通行等价”于解纽，则该纽结的 Arf 不变量为 0；如果它通行等价于三叶结，则为 1。

Arf 不变量在 Wolfram 语言中实现为KnotData[knot,"ArfInvariant"].

下表总结了交叉数为 、2、... 的素纽结中，Arf 不变量为 0 和 1 的数量。

	OEIS	交叉数为 、2、... 的素纽结计数
0	A131433	0, 0, 0, 0, 1, 1, 3, 10, 25, 82, ...
1	A131434	0, 0, 1, 1, 1, 2, 4, 11, 24, 83, ...

如果 、 和 是交叉图区域外部相同的投影，且 和 是纽结，而 是一个双分量链环，其不相交交叉图的左右两股属于不同的链环，则

(1)

其中 是 和 的环绕数。

Arf 不变量可以从亚历山大 多项式或琼斯多项式确定纽结。 对于 ，亚历山大 多项式 ，Arf 不变量由下式给出

(2)

（Jones 1985）。 在此， 因子处理了亚历山大 多项式仅定义到 的倍数所引入的歧义。（或者，多项式的 Conway 定义也处理了这种不确定性。）

对于琼斯多项式 的 纽结

(3)

（Jones 1985），其中 i 是虚数。