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八字结

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FigureEightKnot
FigureEightKnot3D

八字结，也称为弗莱芒结和萨伏伊结，是唯一的四交叉素纽结 04-001。它有辫字 sigma_1sigma_2^(-1)sigma_1sigma_2^(-1)。

八字结在 Wolfram 语言 中实现为KnotData["FigureEight"].

它是 2-可嵌入纽结，并且是 两侧手性 以及 可逆 的。它具有 Arf 不变量 1。它不是 切片纽结（Rolfsen 1976，第 224 页）。

亚历山大 polynomial Delta(x), BLM/Ho polynomial Q(x), 康威 polynomial del (x), HOMFLY polynomial P(l,m), 琼斯 polynomial V(t), 和 考夫曼 polynomial F F(a,z) 八字结的是

Delta(x)=-x^(-1)+3-x
(1)
Q(x)=2x^3+4x^2-2x-3
(2)
del (x)=1-x^2
(3)
P(l,m)=m^2-(l^2+1/(l^2)+1)
(4)
V(t)=t^2-t+1-t^(-1)+t^(-2)
(5)
F(a,z)=(1+a^(-1))z^3+(a^2+2+a^(-2))z^2-(a+a^(-1))z-(a^2+1+a^(-2)).
(6)

在 10 个或更少交叉点上，没有其他纽结共享相同的 亚历山大 polynomial、BLM/Ho polynomial、括号 polynomial、HOMFLY polynomial、琼斯 polynomial 或 考夫曼 polynomial F。

八字结具有 纽结群

<x,y|x^(-1)yxy^(-1)xy=yx^(-1)yx>
(7)

（Rolfsen 1976，第 58 页）。

Helaman Ferguson 的雕塑“Figure-Eight Complement II” 说明了八字结的 纽结补集（Borwein 和 Bailey 2003，第 54-55 页，彩色图版 IV，以及封面；Bailey等人 2007，第 37 页）。此外，Ferguson 在由克莱数学研究所委托制作的两个八字结补集雕塑上，都刻上了纽结补集的 双曲体积 的 BBP 型公式（如下讨论）（Borwein 和 Bailey 2003，第 56 页；Bailey等人 2007，第 36-38 页）。

八字结的 纽结补集 的 双曲体积 近似由下式给出

V=2.0298832...
(8)

（OEIS A091518）。精确表达式由无穷和给出

V=2sqrt(2)sum_(k=1)^(infty)(psi_0(2k)-psi_0(k))/(k(2k; k))
(9)
=sum_(k=1)^(infty)(2sin(1/3kpi))/(k^3)
(10)
=2sum_(k=0)^(infty)((2k; k))/(16^k(2k+1)^2)
(11)
=(2pi)/3[1-ln(pi/3)+sum_(k=1)^(infty)(zeta(2k))/(k(2k+1)6^(2k))]
(12)
=1/2sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)(H_(k+1/2)-H_k+2ln2)/((2k; k)(2k+1)),
(13)

其中 H_n 是 调和数。

V 有多种 BBP 型公式，包括

V=sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)[1/((3k+1)^2)-2/((3k+2)^2)+4/((3k+3)^2)]
(14)
=(3sqrt(3))/2sum_(k=0)^(infty)[1/((3k+1)^2)-1/((3k+2)^2)]
(15)
=sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)[1/((6k+1)^2)+1/((6k+2)^2)-1/((6k+4)^2)-1/((6k+5)^2)]
(16)
=sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)[2/((6k+1)^2)-3/((6k+2)^2)-1/((6k+5)^2)]
(17)
=sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)[1/((6k+1)^2)+3/((6k+4)^2)-2/((6k+5)^2)],
(18)

具有 k 形式为 3l 的系数的附加恒等式（E. W. Weisstein，9 月 30 日，2007 年）。更高阶的恒等式是

V=(2sqrt(3))/(243)sum_(k=0)^infty1/(729^k)[(243)/((12k+1)^2)-(243)/((12k+2)^2)-(324)/((12k+3)^2)-(81)/((12k+4)^2)+(27)/((12k+5)^2)-9/((12k+7)^2)+9/((12k+8)^2) +(12)/((12k+9)^2)+3/((12k+10)^2)-1/((12k+11)^2)] =(2sqrt(3))/(177147)sum_(k=0)^infty1/(531441^k)[(177147)/((24k+1)^2)-(177147)/((24k+2)^2)-(236196)/((24k+3)^2)-(59049)/((24k+4)^2)+(19683)/((24k+5)^2)-(6561)/((24k+7)^2)+(6561)/((24k+8)^2)+(8748)/((24k+9)^2)+(2187)/((24k+10)^2)-(729)/((24k+11)^2)+(243)/((24k+13)^2)-(243)/((24k+14)^2)-(324)/((24k+15)^2)-(81)/((24k+16)^2)+(27)/((24k+17)^2)-9/((24k+19)^2)+9/((24k+20)^2)+(12)/((24k+21)^2)+3/((24k+22)^2) -1/((24k+23)^2)]
(19)

（E. W. Weisstein，2008 年 8 月 11 日）。

其他类别的恒等式由下式给出

V=sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[1/((3k+1)^2)+1/((3k+2)^2)]
(20)
=sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[1/((9k+1)^2)+1/((9k+2)^2)-1/((9k+4)^2)-1/((9k+5)^2)+1/((9k+7)^2)+1/((9k+8)^2)],
(21)

具有 k 形式为 6l+3 的系数的附加恒等式（E. W. Weisstein，9 月 30 日，2007 年）。另一个 BBP 型公式 由下式给出

V=(2sqrt(3))/9sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(27^k)[9/((6k+1)^2)-9/((6k+2)^2)-(12)/((6k+3)^2)-3/((6k+4)^2)+1/((6k+5)^2)].
(22)

V 也由积分给出

V=-2int_0^1(lny)/(sqrt(1-(1/2y)^2))dy
(23)
=-sqrt(3)int_0^1(lny)/(1-y+y^2)dy
(24)
=2sqrt(3)int_0^(1/2)((1+s)ln(1+s)-(1-s)ln(1-s))/((1-s^2)sqrt(1-4s^2))ds,
(25)

和解析表达式

V=2_3F_2(1/2,1/2,1/2;3/2,3/2;1/4)
(26)
=1/6sqrt(3)[psi_1(1/3)-psi_1(2/3)]
(27)
=1/9sqrt(3)[3psi_1(1/3)-2pi^2]
(28)
=1/(36)sqrt(3)[psi_1(1/6)+psi_1(1/3)-psi_1(2/3)-psi_1(5/6)]
(29)
=i[Li_2(e^(-ipi/3))-Li_2(e^(ipi/3))]
(30)
=2I[Li_2(e^(ipi/3))]
(31)
=2Cl_2(1/3pi)
(32)
=3Cl_2(2/3pi),
(33)

（Broadhurst 1998；Borwein 和 Bailey 2003，第 54 页和 88-92 页；Bailey等人 2007，第 36-38 页和 265-266 页），其中 _3F_2(a,b,c;d,e;z) 是 广义超几何函数，psi_1(z) 是 三伽玛函数，Li_2(z) 是 二对数函数，Cl_2(x) 是 克劳森积分。

另请参阅

BBP 型公式，纽结，素纽结

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参考文献

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, 2007.Bar-Natan, D. "The Knot 4_1." http://www.math.toronto.edu/~drorbn/KAtlas/Knots/4.1.html.Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Broadhurst, D. J. "Massive 3-Loop Feynman Diagrams Reducible to SC^* Primitives of Algebras of the Sixth Root of Unity." March 11, 1998. http://arxiv.org/abs/hep-th/9803091.Francis, G. K. A Topological Picture Book. New York: Springer-Verlag, 1987.Kauffman, L. Knots and Physics. Teaneck, NJ: World Scientific, pp. 8, 12, and 35, 1991.KnotPlot. "4_1." http://newweb.cecm.sfu.ca/cgi-bin/KnotPlot/KnotServer/kserver?ncomp=1&ncross=4&id=1.Livingston, C. Knot Theory. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 21 and 153, 1993.Owen, P. Knots. Philadelphia, PA: Courage, p. 16, 1993.Rolfsen, D. Knots and Links. Wilmington, DE: Publish or Perish Press, pp. 58 and 224, 1976.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Middlesex, England: Penguin Books, pp. 78-79, 1991.

以此引用

Weisstein, Eric W. "Figure Eight Knot." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FigureEightKnot.html

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