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内位似中心

InternalCenterofSimilitude

一般来说，两个圆 C_1=C(x_1,r_1) 和 C_2=C(x_2,r_2) 的内位似中心，其圆心以笛卡尔坐标给出，由下式给出

Si(C_1,C_2)=(r_1x_2+r_2x_1)/(r_1+r_2).
(1)

在三线坐标中，内位似中心由 alpha:beta:gamma 给出，其中

alpha=(ar_1(aalpha_1+bbeta_1+cgamma_1)alpha_2+ar_2(aalpha_2+bbeta_2+cgamma_2)alpha_1)/a
(2)
beta=(br_1(aalpha_1+bbeta_1+cgamma_1)beta_2+br_2(aalpha_2+bbeta_2+cgamma_2)beta_1)/b
(3)
gamma=(cr_1(aalpha_1+bbeta_1+cgamma_1)gamma_2+cr_2(aalpha_2+bbeta_2+cgamma_2)gamma_1)/c.
(4)

三角形 DeltaABC 的 内切圆 和 外接圆 有两个 位似中心，即内位似中心 Si 和 外位似中心 Se。这两个圆 Si 的内位似中心是 DeltaABC 的 格尔贡点 的 等角共轭点。它是 Kimberling 中心 X_(55)，并具有等价的 三角形中心函数

alpha_(55)=a(b+c-a)
(5)
alpha_(55)=1+cosA
(6)
alpha_(55)=cos^2(1/2A).
(7)

点 Si 和 Se 共享某些相似的属性，但两者之间似乎没有直接的类比。例如，Si 是三角形 DeltaABC 的 切线三角形、内切三角形 和 外切三角形 两两组合的 位似中心，但 外位似中心 Se 唯一可比较的属性更复杂：Se 是 切线三角形 和 内切三角形 在 DeltaABC 的 内心 中的反射的 位似中心。

下表总结了一些命名圆的内位似中心。

圆 1圆 2Kimberling内位似中心
亚当斯圆康威圆X_1内心
亚当斯圆内切圆X_1内心
反互补圆Bevan 圆X_(10)Spieker 中心
反互补圆布罗卡尔圆X_(2542)内位似中心(反互补圆, 布罗卡尔圆)
反互补圆外接圆X_2三角形重心 G
反互补圆余弦圆X_(1587)卡斯托 I 点
反互补圆第一 Droz-Farny 圆X_4垂心 H
反互补圆第一 Lemoine 圆X_(2546)内位似中心(反互补圆, 第一 Lemoine 圆)
反互补圆Gallatly 圆X_(2544)内位似中心(反互补圆, Gallatly 圆)
反互补圆内切圆X_(388)直线 (X_1,X_4) 和 (X_7,X_8) 的交点
反互补圆摩西圆X_(2548)内位似中心(反互补圆, 摩西圆)
反互补圆垂心重心圆X_(2552)内位似中心(反互补圆, 垂心重心圆)
反互补圆极圆X_4垂心 H
反互补圆第二 Johnson-Yff 圆X_(497)交点 of the 纳格尔点 和 格尔贡点
反互补圆Spieker 圆X_(2550)内位似中心(反互补圆, Spieker 圆)
阿波罗尼斯圆Bevan 圆X_(1695)内位似中心(Bevan 圆, 阿波罗尼斯圆)
阿波罗尼斯圆布罗卡尔圆X_(1693)内位似中心(布罗卡尔圆, 阿波罗尼斯圆)
阿波罗尼斯圆外接圆X_(573)X(58) 的正调和点
阿波罗尼斯圆余弦圆X_(1685)内位似中心(第二 Lemoine 圆, 阿波罗尼斯圆)
阿波罗尼斯圆外接圆根轴圆X_(2538)内位似中心(阿波罗尼斯圆, 布罗卡尔圆)
阿波罗尼斯圆第一 Lemoine 圆X_(1683)内位似中心(第一 Lemoine 圆, 外接圆根轴圆)
阿波罗尼斯圆Gallatly 圆X_(2019)外位似中心(Gallatly 圆, 阿波罗尼斯圆)
阿波罗尼斯圆内切圆X_(1682)内位似中心(内切圆, 阿波罗尼斯圆)
阿波罗尼斯圆九点圆X_(10)Spieker 中心
Bevan 圆布罗卡尔圆X_(1704)内位似中心(Bevan 圆, 布罗卡尔圆)
Bevan 圆外接圆X_(165)外心三角形的重心
Bevan 圆余弦圆X_(1702)内位似中心(Bevan 圆, 第二 Lemoine 圆)
Bevan 圆第一 Lemoine 圆X_(1700)内位似中心(Bevan 圆, 第一 Lemoine 圆)
Bevan 圆Gallatly 圆X_(2017)内位似中心(Gallatly 圆, Bevan 圆)
Bevan 圆内切圆X_(1697)内位似中心(Bevan 圆, 内切圆)
Bevan 圆摩西圆X_(1571)外心圆和摩西圆的内位似中心
Bevan 圆九点圆X_(1698)内位似中心(Bevan 圆, 九点圆)
Bevan 圆第二布罗卡尔圆X_(2572)内位似中心(Bevan 圆, 第二布罗卡尔圆)
Bevan 圆Spieker 圆X_9mittenpunkt (外心对径点)
布罗卡尔圆外接圆X_(1340)内位似中心(外接圆, 布罗卡尔圆)
布罗卡尔圆余弦圆X_(1669)外位似中心(布罗卡尔圆, 第二 Lemoine 圆)
布罗卡尔圆第一 Lemoine 圆X_(182)布罗卡尔直径的中点
布罗卡尔圆Gallatly 圆X_(2011)内位似中心(Gallatly 圆, 布罗卡尔圆)
布罗卡尔圆内切圆X_(1674)内位似中心(内切圆, 布罗卡尔圆)
布罗卡尔圆摩西圆X_(2033)内位似中心(摩西圆, 布罗卡尔圆)
布罗卡尔圆九点圆X_(1348)内位似中心(九点圆, 布罗卡尔圆)
布罗卡尔圆垂心重心圆X_(2469)内位似中心(布罗卡尔圆, 垂心重心圆)
布罗卡尔圆第二布罗卡尔圆X_(1342)内位似中心(外接圆, 第一 Lemoine 圆)
布罗卡尔圆Spieker 圆X_(1678)内位似中心(布罗卡尔圆, Spieker 圆)
外接圆余弦圆X_(371)Kenmotu 点 (同余正方形点)
外接圆外接圆根轴圆X_(2536)内位似中心(外接圆, 外接圆根轴圆)
外接圆第一 Johnson-Yff 圆X_(12)(X_1,X_5)-X(11) 的调和共轭点 X_(11)
外接圆第一 Lemoine 圆X_(1342)内位似中心(外接圆, 第一 Lemoine 圆)
外接圆Gallatly 圆X_(1690)X(1688) 在布罗卡尔圆中的反演
外接圆内切圆X_(55)内位似中心(外接圆, 内切圆)
外接圆Lucas 内圆X_(1151)X(1131) 的等角共轭点 X_(1131)
外接圆摩西圆X_(574)X(187) 的调和点
外接圆九点圆X_2三角形重心
外接圆垂心重心圆X_(1344)内位似中心(外接圆, 垂心重心圆)
外接圆第二布罗卡尔圆X_3外心
外接圆第二 Droz-Farny 圆X_3外心
外接圆正弦三倍角圆X_(184)X(125) 在布罗卡尔圆中的反演
外接圆Spieker 圆X_(958)直线 X(1)X(6) 和 X(2)X(12) 的交点
外接圆Steiner 圆X_(631)3/5*og
外接圆切线圆X_(22)Exeter 点
康威圆外接圆根轴圆X_2三角形重心 G
康威圆内切圆X_1内心
余弦圆第一 Lemoine 圆X_(1687)内位似中心(第一 Lemoine 圆, 第二 Lemoine 圆)
余弦圆Gallatly 圆X_(1671)X(1343) 在布罗卡尔圆中的反演 X_(1343)
余弦圆内切圆X_(1124)X(1123) 的等角共轭点 X_(1123)
余弦圆Lucas 圆根轴圆X_(371)Kenmotu 点
余弦圆摩西圆X_(1504)内位似中心(摩西圆, 第二 Lemoine 圆)
余弦圆九点圆X_(485)Vecten 点
外接圆根轴圆内切圆X_(2534)内位似中心(外接圆根轴圆, 内切圆)
外接圆根轴圆九点圆X_(2540)内位似中心(外接圆根轴圆, 九点圆)
外接圆根轴圆Spieker 圆X_(10)Spieker 中心
外切圆内切圆X_(55)内位似中心(外切圆, 内切圆)
第一 Droz-Farny 圆极圆X_4垂心 H
第一 Droz-Farny 圆第二 Droz-Farny 圆X_5九点圆圆心 N
第一 Johnson-Yff 圆内切圆X_(388)(X_1,X_4) intersection (X_7,X_8)
第一 Johnson-Yff 圆第二 Johnson-Yff 圆X_1内心 I
第一 Johnson-Yff 圆Spieker 圆X_(377)(X_7,X_8) 和 欧拉线 的交点
第一 Lemoine 圆Gallatly 圆X_(371)Kenmotu 点 (同余正方形点)
第一 Lemoine 圆内切圆X_(1672)内位似中心(内切圆, 第一 Lemoine 圆)
第一 Lemoine 圆摩西圆X_(2035)内位似中心(摩西圆, 第一 Lemoine 圆)
第一 Lemoine 圆九点圆X_(1676)内位似中心(第一 Lemoine 圆, 九点圆)
第一 Lemoine 圆垂心重心圆X_(2471)内位似中心(第一 Lemoine 圆, 垂心重心圆)
第一 Lemoine 圆第二布罗卡尔圆X_(2558)内位似中心(第一 Lemoine 圆, 第二布罗卡尔圆)
第一 Lemoine 圆Spieker 圆X_(1680)内位似中心(第一 Lemoine 圆, Spieker 圆)
Gallatly 圆半摩西圆X_(39)布罗卡尔中点
Gallatly 圆内切圆X_(2007)内位似中心(Gallatly 圆, 内切圆)
Gallatly 圆摩西圆X_(39)布罗卡尔中点
Gallatly 圆九点圆X_(2009)内位似中心(Gallatly 圆, 九点圆)
Gallatly 圆垂心重心圆X_(2015)内位似中心(Gallatly 圆, 垂心重心圆)
Gallatly 圆第二布罗卡尔圆X_(2562)内位似中心(Gallatly 圆, 第二布罗卡尔圆)
Gallatly 圆Spieker 圆X_(2013)内位似中心(Gallatly 圆, Spieker 圆)
半摩西圆内切圆X_(2276)X_2-X(985) 的等角共轭点 X_(985)
半摩西圆摩西圆X_(39)布罗卡尔中点
半摩西圆Spieker 圆X_(1107)X(1) 和 X(274) 的交点 X_1 和 X_(274)
内切圆摩西圆X_(1500)内位似中心(内切圆, 摩西圆)
内切圆九点圆X_(12)(X_1,X_5)-X(11) 的调和共轭点 X_(11)
内切圆垂心重心圆X_(2463)内位似中心(内切圆, 垂心重心圆)
内切圆第二布罗卡尔圆X_(2564)内位似中心(内切圆, 第二布罗卡尔圆)
内切圆第二 Johnson-Yff 圆X_(497)Ge 和 Na 的交点 Ge 和 Na
内切圆正弦三倍角圆X_(2477)外位似中心(内切圆, 正弦三倍角圆)
内切圆Spieker 圆X_2三角形重心 G
内拿破仑圆外拿破仑圆X_2三角形重心 G
内 Soddy 圆外 Soddy 圆X_1内心 I
内切圆九点圆X_(33)透视中心 of the 垂足三角形 和 内切三角形
内切圆切线圆X_(55)
摩西圆九点圆X_(1506)内位似中心(摩西圆, 九点圆)
摩西圆Spieker 圆X_(1573)内位似中心(摩西圆, Spieker 圆)
九点圆垂心重心圆X_(1346)内位似中心(九点圆, 垂心重心圆)
九点圆第二布罗卡尔圆X_(2566)内位似中心(九点圆, 第二布罗卡尔圆)
九点圆第二 Johnson-Yff 圆X_(55)内位似中心(九点圆, 第二 Johnson-Yff 圆)
九点圆正弦三倍角圆X_(54)Kosnita 点
九点圆Spieker 圆X_(2886)互补共轭点 X_9
九点圆Steiner 圆X_5九点圆圆心 N
九点圆切线圆X_3外心 O
垂心重心圆第二布罗卡尔圆X_(2570)内位似中心(垂心重心圆, 第二布罗卡尔圆)
垂心重心圆Spieker 圆X_(2467)内位似中心(垂心重心圆, Spieker 圆)
第二布罗卡尔圆第二 Droz-Farny 圆X_3外心 O
第二布罗卡尔圆Spieker 圆X_(2568)内位似中心(第二布罗卡尔圆, Spieker 圆)
第二 Johnson-Yff 圆Spieker 圆X_(2478)X(377) 在垂心重心圆中的反演 X_(377)
Spieker 圆切线中弧圆X_(188)反互补三角形的第二中弧点

另请参阅

外位似中心, 位似中心, 中点圆, 位似中心

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参考文献

Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929.Kimberling, C. "Triangle Centers and Central Triangles." Congr. Numer. 129, 1-295, 1998.Kimberling, C. "Encyclopedia of Triangle Centers: X(55)=Internal Center of Similitude of Circumcircle and Incircle." http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X55.

在 上引用

内位似中心

请引用为

Weisstein, Eric W. "内位似中心。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/InternalSimilitudeCenter.html

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