阿波罗尼斯圆

所谓阿波罗尼斯圆有四种完全不同的定义

1. 到两个定点的距离之比为常数 的所有点的集合（Durell 1928，Ogilvy 1990）。

2. 同时与三个给定圆相切的八个圆之一（即，解决三个圆的阿波罗尼斯问题的圆）。

3. 通过三角形的一个顶点和两个等力点 和 的三个圆之一（Kimberling 1998，第 68 页）。

4. 与三角形的所有三个旁切圆相切并包含它们的圆（Kimberling 1998，第 102 页）。

给定三角形的一条边以及另外两条边的长度之比，第三个多边形顶点的轨迹是阿波罗尼斯圆（第一种类型），其圆心在给定边的延长线上。对于给定的三角形，有三个阿波罗尼斯圆。将三角形的三个阿波罗尼斯圆（第一种类型）表示为 、 和 ，它们的圆心为 、 和 。圆心 是边 与外接圆在 处的切线的交点。 也是外心线交点 关于外接圆的极点。圆心 、 和 在关于 关于其外接圆的极线上共线，称为勒穆瓦纳轴。阿波罗尼斯圆 也是垂足三角形为等腰三角形的点的轨迹，使得 。

第二种类型的八个阿波罗尼斯圆如上图所示。

设 和 是三角形 的边线 上的点，由角 角 的内角和外角平分线相交而成。那么以 直径 的圆称为 -阿波罗尼斯圆。类似地，构造 - 和 -阿波罗尼斯圆（Johnson 1929，第 294-299 页）。阿波罗尼斯圆穿过顶点 、 和 ，以及两个等力点 和 （Kimberling 1998，第 68 页）。-阿波罗尼斯圆的圆心具有三线坐标

(1)

和半径

(2)

其中 是参考三角形的外接圆半径。

由于阿波罗尼斯圆两两相交于等力点，它们共享一条公共根轴

(3)

即中心线 ，对应于Kimberling 中心 ，基佩尔特抛物线焦点 的等角共轭点。

D-三角形的顶点位于各自的阿波罗尼斯圆上。

与三角形的所有三个旁切圆相切并包含它们的圆通常被称为“阿波罗尼斯圆”（Kimberling 1998，第 102 页）。它具有圆函数

(4)

对应于Kimberling 中心 。它的圆心具有三角形中心函数

(5)

即Kimberling 中心 。它的半径是

(6)

其中 是内切圆半径， 是参考三角形的半周长。它可以构造为九点圆关于与参考三角形的旁切圆正交的圆的反演图像。它是一个塔克圆（Grinberg 和 Yiu 2002）。

Kimberling 中心 对于 、2038、3029、3030、3031、3032、3033 和 3034 位于阿波罗尼斯圆上。它也与斯特凡诺维奇圆正交。