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常微分方程

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常微分方程（通常称为“ODE”，“diff eq”或“diffy Q”）是包含函数及其导数的等式。 n阶ODE是如下形式的方程

F(x,y,y^',...,y^((n)))=0,
(1)

其中 y 是 x 的函数， y^'=dy/dx 是关于 x 的一阶导数，而 y^((n))=d^ny/dx^n 是关于 x 的第 n 阶导数。

如果已知齐次版本的通解，则可以求解非齐次常微分方程，在这种情况下，可以使用待定系数法或参数变分法来找到特解。

许多常微分方程可以使用 Wolfram 语言精确求解，使用DSolve[eqn, y, x]，以及使用NDSolve[eqn, y, {x, xmin, xmax}] 进行数值求解。

如果 n 阶ODE是如下形式，则称其为线性ODE

a_n(x)y^((n))+a_(n-1)(x)y^((n-1))+...+a_1(x)y^'+a_0(x)y=Q(x).
(2)

其中 Q(x)=0 的线性ODE被称为齐次的。 令人困惑的是，如下形式的ODE

y^'=f(y/x)
(3)

有时也称为“齐次”。

一般来说，一个 n 阶ODE有 n 个线性无关的解。 此外，线性无关函数解的任何线性组合也是一个解。

对于一阶（积分因子）和二阶（Sturm-Liouville 理论）常微分方程，以及具有线性常数系数的任意ODE，当它们具有某些可分解形式时，存在简单的理论。 诸如拉普拉斯变换之类的积分变换也可以用于求解线性ODE的类别。 Morse 和 Feshbach (1953, pp. 667-674) 给出了二阶常微分方程的规范形式和解。

虽然有许多通用技术可以分析求解各类ODE，但对于复杂方程，唯一实用的求解技术是使用数值方法（Milne 1970，Jeffreys 和 Jeffreys 1988）。 其中最流行的是Runge-Kutta 方法，但也开发了许多其他方法，包括配置法和Galerkin 方法。 大量的研究和大量的出版物致力于微分方程（包括常微分方程和偏微分方程 (PDE)）的数值解，这是因为它们在物理学、工程学、经济学和电子学等不同领域中的重要性。

ODE的解满足存在性和唯一性性质。 这些可以通过某些ODE类别的皮卡德存在定理正式确立。 设一个一阶ODE系统由下式给出

(dx_i)/(dt)=f_i(x_1,...,x_n,t),
(4)

对于 i=1, ..., n，并令函数 f_i(x_1,...,x_n,t)，其中 i=1, ..., n，全部在变量 x_1, ..., x_n, t 的 (n+1) 维空间的域 D 中定义。 设这些函数在 D 中连续，并且具有连续的一阶偏导数 partialf_i/partialx_j 对于 i=1, ..., n 和 j=1, ..., n 在 D 中。 令 (x_1^0,...,x_n^0) 在 D 中。 那么存在一个解 (4) 由下式给出

x_1=x_1(t),...,x_n=x_n(t)
(5)

对于 t_0-delta<t<t_0+delta （其中 delta>0），满足初始条件

x_1(t_0)=x_1^0,...,x_n(t_0)=x_n^0.
(6)

此外，解是唯一的，因此如果

x_1=x_1^*(t),...,x_n=x_n^*(t)
(7)

是 (◇) 对于 t_0-delta<t<t_0+delta 且满足 (◇) 的第二个解，那么 x_i(t)=x_i^*(t) 对于 t_0-delta<t<t_0+delta。 因为每个 n 阶ODE可以表示为 n 个一阶ODE的系统，所以该定理也适用于单个 n 阶ODE。

恰当一阶常微分方程是如下形式的一种

p(x,y)dx+q(x,y)dy=0,
(8)

其中

(partialp)/(partialy)=(partialq)/(partialx).
(9)

形式为 (◇) 且满足

(partialp)/(partialy)!=(partialq)/(partialx)
(10)

的方程被称为非恰当的。 如果

((partialp)/(partialy)-(partialq)/(partialx))/q=f(x)
(11)

在 (◇) 中，它具有一个依赖于 x 的积分因子。 如果

((partialq)/(partialx)-(partialp)/(partialy))/(xp-yq)=f(xy)
(12)

在 (◇) 中，它具有一个依赖于 xy 的积分因子。 如果

((partialq)/(partialx)-(partialp)/(partialy))/p=f(y)
(13)

在 (◇) 中，它具有一个依赖于 y 的积分因子。

其他特殊的一阶类型包括交叉乘积方程

yf(xy)dx+xg(xy)dy=0,
(14)

齐次方程

y^'=f(y/x),
(15)

线性方程

y^'+p(x)y=q(x),
(16)

和可分离方程

y^'=X(x)Y(y).
(17)

二阶常微分方程的特殊类别包括

y^('')=f(y,y^')
(18)

（缺少 x ）和

y^('')=f(x,y^')
(19)

（缺少 y ）。 二阶线性齐次ODE

y^('')+P(x)y^'+Q(x)y=0
(20)

对于其

(Q^'(x)+2P(x)Q(x))/(2[Q(x)]^(3/2))=[constant]
(21)

可以转换为具有常系数的方程。

简谐运动的无阻尼方程为

y^('')+omega_0^2y=0,
(22)

变为

y^('')+betay^'+omega_0^2y=0
(23)

当阻尼时，以及

y^('')+betay^'+omega_0^2y=Acos(omegat+delta)
(24)

当同时存在强迫和阻尼时。

具有常系数的系统的形式为

(dx)/(dt)=Ax(t)+p(t).
(25)

以下是数学物理问题中常见的重要的常微分方程示例。

阿贝尔微分方程

y^'=f_0(x)+f_1(x)y+f_2(x)y^2+f_3(x)y^3+...
(26)
[g_0(x)+g_1(x)y]y^'=f_0(x)+f_1(x)y+f_2(x)y^2+f_3(x)y^3.
(27)

艾里微分方程

y^('')-xy=0.
(28)

安格尔微分方程

y^('')+(y^')/x+(1-(nu^2)/(x^2))y=(x-nu)/(pix^2)sin(nupi).
(29)

贝尔微分方程

(x-a_1)(x-a_2)y^('')+1/2[2x-(a_1+a_2)]y^'-(p^2x+q^2)y=0,
(30)
(x-a_1)(x-a_2)y^('')+1/2[2x-(a_1+a_2)]y^'-(k^2x^2-p^2x+q^2)y=0.
(31)

伯努利微分方程

y^'+p(x)y=q(x)y^n.
(32)

贝塞尔微分方程

x^2y^('')+xy^'+(lambda^2x^2-n^2)y=0.
(33)

二项微分方程

(y^')^m=f(x,y).
(34)

伯cher方程

y^('')+1/2[(m_1)/(x-a_1)+...+(m_(n-1))/(x-a_(n-1))]y^' +1/4[(A_0+A_1x+...+A_lx^l)/((x-a_1)^(m_1)(x-a_2)^(m_2)...(x-a_(n-1))^(m_(n-1)))]y=0.
(35)

布里奥-布克方程

x^my^'=f(x,y).
(36)

切比雪夫微分方程

(1-x^2)y^('')-xy^'+alpha^2y=0.
(37)

克莱罗微分方程

y=xy^'+f(y^').
(38)

合流超几何微分方程

xy^('')+(c-x)y^'-ay=0.
(39)

达朗贝尔方程

y=xf(y^')+g(y^').
(40)

杜芬微分方程

y^('')+omega_0^2y+betay^3=0.
(41)

埃卡特微分方程

y^('')+[(alphaeta)/(1+eta)+(betaeta)/((1+eta)^2)+gamma]y=0,
(42)

其中 eta=e^(deltax)。

埃姆登-福勒微分方程

(x^py^')^'+/-x^sigmay^n=0.
(43)

欧拉微分方程

x^2y^('')+axy^'+by=S(x).
(44)

哈尔姆微分方程

(1+x^2)^2+y^('')+lambday=0.
(45)

埃尔米特微分方程

y^('')-2xy^'+lambday=0.
(46)

海恩微分方程

w^('')+(gamma/x+delta/(x-1)+epsilon/(x-a))w^'+(alphabetax-q)/(x(x-1)(x-a))w=0,
(47)

其中 w^'=dw/dx。

希尔微分方程

y^('')+[theta_0+2sum_(n=1)^inftytheta_ncos(2nz)]y=0.
(48)

超几何微分方程

x(x-1)y^('')+[(1+alpha+beta)x-gamma]y^'+alphabetay=0.
(49)

雅可比微分方程

(1-x^2)y^('')+[beta-alpha-(alpha+beta+2)x]y^'+n(n+alpha+beta+1)y=0.
(50)

拉盖尔微分方程

xy^('')+(1-x)y^'+lambday=0.
(51)

拉梅微分方程

(x^2-b^2)(x^2-c^2)z^('')+x(x^2-b^2+x^2-c^2)z^'-[m(m+1)x^2-(b^2+c^2)p]z=0,
(52)

其中 z^'=dz/dx。

莱恩-埃姆登微分方程

1/(xi^2)d/(dxi)(xi^2(dtheta)/(dxi))+theta^n=0.
(53)

勒让德微分方程

(1-x^2)y^('')-2xy^'+alpha(alpha+1)y=0.
(54)

线性常系数

a_0y^((n))+...+a_(n-1)y^'+a_ny=p(x).
(55)

洛梅尔微分方程

x^2y^('')+xy^'-(x^2+nu^2)y=kx^(mu+1).
(56)

洛纳微分方程

y^'=-y(1+kappa(x)y)/(1-kappa(x)y).
(57)

马尔姆斯滕微分方程

y^('')+r/zy^'=(Az^m+s/(z^2))y.
(58)

马蒂厄微分方程

V^('')+[a-2qcos(2v)]V=0,
(59)

其中 V^'=dV/dv。

修正贝塞尔微分方程

x^2y^('')+xy^'-(x^2+n^2)y=0.
(60)

修正球贝塞尔微分方程

r^2R^('')+2rR^'-[k^2r^2+n(n+1)]R=0,
(61)

其中 R^'=dR/dr

瑞利微分方程

y^('')-mu(1-1/3y^('2))y^'+y=0.
(62)

里卡蒂微分方程

w^'=q_0(x)+q_1(x)w+q_2(x)w^2.
(63)

黎曼P-微分方程

u^('')+[(1-alpha-alpha^')/(z-a)+(1-beta-beta^')/(z-b)+(1-gamma-gamma^')/(z-c)]u^' +[(alphaalpha^'(a-b)(a-c))/(z-a)+(betabeta^'(b-c)(b-a))/(z-b)+(gammagamma^'(c-a)(c-b))/(z-c)]u/((z-a)(z-b)(z-c))=0,
(64)

其中 u^'=du/dz。

夏普微分方程

zy^('')+y^'+(z+A)y=0.
(65)

球贝塞尔微分方程

r^2R^('')+2rR^'+[k^2r^2-n(n+1)]R=0,
(66)

其中 R^'=dR/dr。

斯特鲁微分方程

z^2y^('')+zy^'+(z^2-nu^2)y=(4(1/2z)^(nu+1))/(sqrt(pi)Gamma(nu+1/2)).
(67)

斯特姆-刘维尔方程

d/(dx)[p(x)y^']+[lambdaw(x)-q(x)]y=0.
(68)

盖根鲍尔微分方程

(1-x^2)y^('')-(2alpha+1)xy^'+n(n+2alpha)y=0.
(69)

范德波尔方程

y^('')-mu(1-y^2)y^'+y=0.
(70)

韦伯微分方程

y^('')+(n+1/2-1/4z^2)y=0,
(71)

其中 y^'=dy/dz。

惠特克微分方程

u^('')+u^'+(k/z+(1/4-m^2)/(z^2))u=0,
(72)

其中 u^'=du/dz。

参见

亚当斯方法, 一阶常微分方程, 格林函数, 等斜线, 拉普拉斯变换, 主导阶分析, 强函数, 偏微分方程, 松弛法, 龙格-库塔方法, 二阶常微分方程, 简谐运动, 待定系数法, 参数变分法 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 上被引用

常微分方程

请引用为

Weisstein, Eric W. “常微分方程”。 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/OrdinaryDifferentialEquation.html

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