考虑 亥姆霍兹微分方程
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(1)
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在 球坐标系 中。这只是 拉普拉斯方程 在 球坐标系 中加上一个附加项，
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(2)
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同乘 
,
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(3)
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这个方程在 
中是可分离变量的。称分离常数为 
,
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(4)
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现在同乘 
,
![r^2(d^2R)/(dr^2)+2r(dR)/(dr)+[k^2r^2-n(n+1)]R=0.](/images/equations/SphericalBesselDifferentialEquation/NumberedEquation5.svg) |
(5)
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这就是球贝塞尔微分方程。可以通过令 
来变换它，然后
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(6)
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类似地，
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(7)
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所以方程变为
![x^2(d^2R)/(dx^2)+2x(dR)/(dx)+[x^2-n(n+1)]R=0.](/images/equations/SphericalBesselDifferentialEquation/NumberedEquation8.svg) |
(8)
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现在寻找形如 R(r)=Z(x)x^(-1/2) 的解 
, 用撇号表示对 
的导数，
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(9)
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(10)
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(11)
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所以
![x^2(Z^('')x^(-1/2)-Z^'x^(-3/2)+3/4Zx^(-5/2))+2x(Z^'x^(-1/2)-1/2Zx^(-3/2))+[x^2-n(n+1)]Zx^(-1/2)=0](/images/equations/SphericalBesselDifferentialEquation/NumberedEquation9.svg) |
(12)
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![x^2(Z^('')-Z^'x^(-1)+3/4Zx^(-2))+2x(Z^'-1/2Zx^(-1))+[x^2-n(n+1)]Z=0](/images/equations/SphericalBesselDifferentialEquation/NumberedEquation10.svg) |
(13)
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![x^2Z^('')+(-x+2x)Z^'+[3/4-1+x^2-n(n+1)]Z=0](/images/equations/SphericalBesselDifferentialEquation/NumberedEquation11.svg) |
(14)
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![x^2Z^('')+xZ^'+[x^2-(n^2+n+1/4)]Z=0](/images/equations/SphericalBesselDifferentialEquation/NumberedEquation12.svg) |
(15)
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![x^2Z^('')+xZ^'+[x^2-(n+1/2)^2]Z=0.](/images/equations/SphericalBesselDifferentialEquation/NumberedEquation13.svg) |
(16)
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但这个方程的解是半整数阶 贝塞尔函数，所以原方程的归一化解是
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(17)
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这被称为 球贝塞尔函数。两种类型的解分别表示为 
(第一类球贝塞尔函数) 或 
(第二类球贝塞尔函数)，通解写为
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(18)
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其中
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(19)
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