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韦伯微分方程

考虑以下微分方程

w=z^(-1/2)W_(k,-1/4)(1/2z^2),
(1)

其中 W 是一个 惠特克函数，由下式给出

d/(zdz)[(d(wz^(1/2)))/(zdz)]+(-1/4+(2k)/(z^2)+3/(4z^4))wz^(1/2)=0
(2)
(d^2w)/(dz^2)+(2k-1/4z^2)w=0
(3)

(Moon and Spencer 1961, p. 153; Zwillinger 1997, p. 128)。这通常被改写为

(d^2D_n(z))/(dz^2)+(n+1/2-1/4z^2)D_n(z)=0.
(4)

解是抛物柱面函数。

方程

(d^2U)/(du^2)-(c+k^2u^2)U=0
(5)
(d^2V)/(dv^2)+(c-k^2v^2)V=0,
(6)

通过在拉普拉斯方程在抛物柱面坐标中分离变量而得到的方程，也称为韦伯微分方程。与上述相同，解被称为抛物柱面函数。

Zwillinger (1997, p. 127) 称

y^('')+(y^')/x+(1-(nu^2)/(x^2))y=-1/(pix^2)[x+nu+(x-nu)cos(nupi)]
(7)

为韦伯微分方程 (Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 989)。

另请参阅

安格尔微分方程, 抛物柱面函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 989, 2000.Moon, P. and Spencer, D. E. Field Theory for Engineers. New York: Van Nostrand, 1961.Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 127, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

韦伯微分方程

请这样引用

韦斯坦, 埃里克·W. "韦伯微分方程。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/WeberDifferentialEquations.html

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