拉普拉斯变换

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拉普拉斯变换是一种积分变换，其在解决物理问题中的效用可能仅次于傅里叶变换。拉普拉斯变换在求解线性常微分方程时特别有用，例如在电子电路分析中出现的那些方程。

（单边）拉普拉斯变换（不要与李导数混淆，李导数也常表示为）定义为

(1)

其中的定义域为 (Abramowitz and Stegun 1972)。单边拉普拉斯变换几乎总是“拉普拉斯变换”的含义，尽管有时也定义了双边拉普拉斯变换为

(2)

(Oppenheim et al. 1997)。单边拉普拉斯变换在 Wolfram 语言中实现为LaplaceTransform[f[t], t, s]，逆拉普拉斯变换为InverseRadonTransform.

逆拉普拉斯变换被称为布罗姆维奇积分，有时也称为傅里叶-梅林积分（另请参阅相关的杜哈梅尔卷积原理）。

下面给出了几个重要单边拉普拉斯变换的表格。

		条件
1











	${1/s for c<=0; (e^(-cs))/s for c>0$

在上表中，是零阶第一类贝塞尔函数，是狄拉克δ函数，是单位阶跃函数。

拉普拉斯变换具有许多重要性质。拉普拉斯变换存在性定理指出，如果在中的每个有限区间上是分段连续的，且满足

(3)

对于所有，则对于所有都存在。拉普拉斯变换也是唯一的，从某种意义上说，给定两个函数和具有相同的变换，使得

(4)

那么勒奇定理保证积分

(5)

对于所有，对于由下式定义的零函数都消失

(6)

拉普拉斯变换是线性的，因为

			(7)
			(8)
			(9)

卷积的拉普拉斯变换由下式给出

(10)

现在考虑微分。设在中是次连续可微的。如果，则

(11)

这可以通过分部积分来证明，

			(12)
		$lim_(a->infty){[e^(-st)f(t)]_0^a+sint_0^ae^(-st)f(t)dt}$	(13)
			(14)
			(15)

继续对高阶导数进行计算，得到

(16)

此性质可用于将微分方程转换为代数方程，此过程称为亥维赛德演算，然后可以进行逆变换以获得解。例如，将拉普拉斯变换应用于方程

(17)

得到

${s^2L_t[f(t)](s)-sf(0)-f^'(0)}+a_1{sL_t[f(t)](s)-f(0)} +a_0L_t[f(t)](s)=0$

(18)

(19)

可以重新排列为

(20)

如果此方程可以进行逆拉普拉斯变换，则原微分方程就解出来了。

拉普拉斯变换满足许多有用的性质。考虑指数运算。如果对于（即，是的拉普拉斯变换），则对于。这推导自

			(21)
			(22)
			(23)

当应用于函数的积分时，拉普拉斯变换也具有良好的性质。如果是分段连续的，且，则

(24)

另请参阅

双边拉普拉斯变换, 布罗姆维奇积分, 傅里叶-梅林积分, 傅里叶变换, 积分变换, 拉普拉斯-斯蒂尔杰斯变换, 运算数学, 单边拉普拉斯变换在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Laplace Transforms." Ch. 29 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 1019-1030, 1972.Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 824-863, 1985.Churchill, R. V. Operational Mathematics. New York: McGraw-Hill, 1958.Doetsch, G. Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation. Berlin: Springer-Verlag, 1974.Franklin, P. An Introduction to Fourier Methods and the Laplace Transformation. New York: Dover, 1958.Graf, U. Applied Laplace Transforms and z-Transforms for Scientists and Engineers: A Computational Approach using a Mathematica Package. Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2004.Jaeger, J. C. and Newstead, G. H. An Introduction to the Laplace Transformation with Engineering Applications. London: Methuen, 1949.Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2: Special Functions, Integral Transforms, Asymptotics, Continued Fractions. New York: Wiley, pp. 322-350, 1991.Krantz, S. G. "The Laplace Transform." §15.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 212-214, 1999.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 467-469, 1953.Oberhettinger, F. Tables of Laplace Transforms. New York: Springer-Verlag, 1973.Oppenheim, A. V.; Willsky, A. S.; and Nawab, S. H. Signals and Systems, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1997.Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 4: Direct Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 5: Inverse Laplace Transforms. New York: Gordon and Breach, 1992.Spiegel, M. R. Theory and Problems of Laplace Transforms. New York: McGraw-Hill, 1965.Weisstein, E. W. "Books about Laplace Transforms." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/LaplaceTransforms.html.Widder, D. V. The Laplace Transform. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941.Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 231 and 543, 1995.

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Weisstein, Eric W. "Laplace Transform." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LaplaceTransform.html

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