Duffing 微分方程 -- 来自 Wolfram MathWorld

Duffing 方程最常见的受迫形式是

(1)

根据所选参数，该方程可以呈现多种特殊形式。例如，在没有阻尼和没有外力的情况下，并取加号，则方程变为

(2)

(Bender 和 Orszag 1978, p. 547; Zwillinger 1997, p. 122)。此方程可以表现出混沌行为。对于，该方程表示“硬弹簧”，对于，它表示“软弹簧”。如果，则相图曲线是闭合的。

如果改为取，，重置时钟使得，并使用减号，则方程变为

(3)

这可以写成一阶常微分方程组，如下所示

			(4)
			(5)

(Wiggins 1990, p. 5)，在无外力的情况下，简化为

			(6)
			(7)

(Wiggins 1990, p. 6; Ott 1993, p. 3)。

这组耦合微分方程的定点由下式给出

(8)

因此，且

			(9)
			(10)

给出。因此，定点为，，和。

可以通过线性化方程来分析定点的稳定性。微分得到

			(11)
			(12)
			(13)

这可以写成矩阵方程

(14)

考察点 (0,0) 的稳定性

(15)

(16)

但是，所以是实数。由于，总会有一个正根，因此该定点是不稳定的。现在看 (, 0)。特征方程为

(17)

其根为

(18)

对于，，因此该点是渐近稳定的。如果，，因此该点是线性稳定的 (Wiggins 1990, p. 10)。然而，如果，根式给出虚部，实部为，因此该点是不稳定的。如果，，它有一个正实根，因此该点是不稳定的。如果，那么，所以两个根都是正的，并且该点是不稳定的。

有趣的是，特殊情况且没有外力，

			(19)
			(20)

可以通过求积分来求解。对 (19) 求导并代入 (20) 得到

(21)

两边同时乘以得到

(22)

但这可以写成

(23)

因此我们有一个运动不变量 ,

(24)

求解得到

(25)

(26)

因此

(27)

(Wiggins 1990, p. 29)。

请注意，运动不变量满足

(28)

(29)

因此，Duffing 振荡器的方程由哈密顿系统给出

			(30)
			(31)

(Wiggins 1990, p. 31)。

Duffing 微分方程

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参考文献

在 Wolfram|Alpha 中引用

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