二阶常微分方程 -- 来自 Wolfram MathWorld

(1)

当 x=x_0 为有限值时，这类方程在以下条件下具有奇点： (a) 如果当或发散，但当时，和保持有限，则称为正则奇点或非本质奇点。(b) 如果的发散速度比快，以至于当时，或者的发散速度比快，以至于当时，则称为非正则奇点或本质奇点。

为了研究方程 (1) 在无穷远处的奇点，我们进行替换，因此，得到

(2)

			(3)
			(4)
			(5)

那么 (3) 变为

(6)

情况 (a)：如果

			(7)
			(8)

在 () 处保持有限，则该点是常点。情况 (b)：如果的发散速度不超过，或者的发散速度不超过，则该点是正则奇点。情况 (c)：否则，该点是非正则奇点。

Morse 和 Feshbach (1953, pp. 667-674) 给出了按奇点类型分类的二阶常微分方程的规范形式和解法。

对于特殊类型的线性二阶常微分方程，可变系数可以转换为常系数。给定一个具有可变系数的二阶线性 ODE

(9)

定义函数 ,

	(10)
	(11)
	(12)
	(13)
	(14)

如果和不是的函数，这将具有常系数。但是，对于，我们可以通过将定义为以下形式，将设置为任意正常数

(15)

那么

			(16)
			(17)

和

			(18)
			(19)

因此，方程 (◇) 变为

(20)

只要满足以下条件，它就具有常系数

(21)

消除常数，得到

(22)

因此，对于为常数的常微分方程，解可以通过求解具有常系数的二阶线性 ODE 得到

(23)

对于，其中的定义如上。

一般形式的线性二阶齐次微分方程

(24)

可以转换为标准形式

(25)

通过使用以下替换消除一阶项

(26)

那么

	(27)
	(28)
	(29)
	(30)
	(31)

因此

			(32)
			(33)

因此，

(34)

其中

(35)

如果，则微分方程变为

(36)

可以通过乘以以下项来求解

(37)

得到

$0=d/(dx){exp[int^xP(x^')dx^'](dy)/(dx)}$

(38)

(39)

(40)

对于非齐次二阶常微分方程，其中项不出现在函数中，

(41)

令，则

(42)

因此，一阶 ODE

(43)

如果是线性的，可以作为线性一阶 ODE 求解。一旦解已知，

(44)

(45)

另一方面，如果 y 从中缺失，

(46)

令，则，方程简化为

(47)

如果是线性的，可以作为线性一阶 ODE 求解。一旦解已知，

(48)

如果已知齐次版本的通解，则可以求解非齐次常微分方程，在这种情况下，可以使用参数变分法找到特解。特别地，非齐次二阶常微分方程的特解

(49)

可以使用参数变分法找到，由以下方程给出

(50)

其中和是无源方程的齐次解

(51)

而是这两个函数的 Wronskian 行列式。

二阶常微分方程

另请参阅

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参考文献

在 Wolfram|Alpha 中被引用

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