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里卡蒂微分方程

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有许多方程被称为里卡蒂微分方程。最常见的是

z^2w^('')+[z^2-n(n+1)]w=0
(1)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 445; Zwillinger 1997, p. 126), 它具有解

w=Azj_n(z)+Bzy_n(z),
(2)

其中 j_n(z) 和 y_n(z) 是第一类和第二类球贝塞尔函数。

另一个里卡蒂微分方程是

(dy)/(dz)=az^n+by^2,
(3)

只有当 n=-4m/(2m+/-1) 时，它才能用代数函数、指数函数和对数函数求解，对于 m=0, 1, 2, ....

还有另一个里卡蒂微分方程是

w^'=P(z)+Q(z)w+R(z)w^2,
(4)

其中 w^'=dw/dz (Boyce 和 DiPrima 1986, p. 87)。变换式

w=-(y^')/(yR(z))
(5)

导致二阶线性齐次方程

R(z)y^('')-[R^'(z)+Q(z)R(z)]y^'+[R(z)]^2P(z)y=0.
(6)

如果已知 (4) 的一个特解 w_1，那么可以从下式获得包含单个任意常数的更一般的解

w=w_1(z)+1/(v(z)),
(7)

其中 v(z) 是线性一阶方程的解

v^'=-[Q(z)+2R(z)w_1(z)]v-R(z)
(8)

(Boyce 和 DiPrima 1986, p. 87)。这个结果归功于 1760 年的欧拉。

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编辑). "Riccati-Bessel 函数." §10.3 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 445, 1972.Bender, C. M. 和 Orszag, S. A. §1.6 in 科学家和工程师高级数学方法。 New York: McGraw-Hill, 1978.Boyce, W. E. 和 DiPrima, R. C. 初等微分方程和边值问题，第 4 版。 New York: Wiley, 1986.Boyle, P. P.; Tian, W.; 和 Guan, F. "数学金融中的里卡蒂方程." J. Symb. Comput. 33, 343-355, 2002.Glaisher, J. W. L. "关于里卡蒂方程." Quart. J. Pure Appl. Math. 11, 267-273, 1871.Goldstein, M. E. 和 Braun, W. H. 微分方程解法高级方法。 NASA SP-316. Washington, DC: U.S. Government Printing Office, pp. 45-46, 1973.Ince, E. L. 常微分方程。 New York: Dover, pp. 23-35 和 295, 1956.Reid, W. T. 里卡蒂微分方程。 New York: Academic Press, 1972.Simmons, G. F. 带应用和历史注释的微分方程。 New York: McGraw-Hill, pp. 62-63, 1972.Zwillinger, D. (编辑). CRC 标准数学表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 414, 1995.Zwillinger, D. "里卡蒂方程 - 1 和里卡蒂方程 - 2." §II.A.75 和 II.A.76 in 微分方程手册，第 3 版。 Boston, MA: Academic Press, pp. 121 和 288-291, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

里卡蒂微分方程

请引用为

Weisstein, Eric W. "里卡蒂微分方程。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/RiccatiDifferentialEquation.html

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