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精确一阶常微分方程

考虑以下稍微不同形式的一阶 ODE

p(x,y)dx+q(x,y)dy=0.
(1)

如果满足以下条件，则称该方程为精确方程

(partialp)/(partialy)=(partialq)/(partialx).
(2)

此陈述等价于存在保守场的条件，以便可以定义标量势。对于精确方程，解为

int_((x_0,y_0))^((x,y))p(x,y)dx+q(x,y)dy=c,
(3)

其中 c 是常数。

如果满足以下条件，则称一阶 ODE (◇) 为非精确方程

(partialp)/(partialy)!=(partialq)/(partialx).
(4)

对于非精确方程，可以通过定义 (◇) 的积分因子 mu 来获得解，使得新方程

mup(x,y)dx+muq(x,y)dy=0
(5)

满足

partial/(partialy)(mup)=partial/(partialx)(muq),
(6)

或者，显式地写出，

p(partialmu)/(partialy)+mu(partialp)/(partialy)=q(partialmu)/(partialx)+mu(partialq)/(partialx).
(7)

这将非精确方程转换为精确方程。求解方程 (7) 中的 mu 得到

mu=(q(partialmu)/(partialx)-p(partialmu)/(partialy))/((partialp)/(partialy)-(partialq)/(partialx)).
(8)

因此，如果可以找到满足方程 (8) 的函数 mu，则将

P(x,y)=mup
(9)
Q(x,y)=muq
(10)

代入方程 (◇) 得到

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,
(11)

这就是一个精确的 ODE。可以找到 mu 的特殊情况包括 x-依赖型、xy-依赖型和 y-依赖型积分因子。

给定一个非精确一阶 ODE，我们也可以寻找一个积分因子 mu(x) 使得

(partialmu)/(partialy)=0.
(12)

为了使方程在 mup 和 muq 中是精确的，一阶非精确 ODE 的方程

p(partialmu)/(partialy)+mu(partialp)/(partialy)=q(partialmu)/(partialx)+mu(partialp)/(partialx)
(13)

变为

mu(partialp)/(partialy)=q(partialmu)/(partialx)+mu(partialp)/(partialx).
(14)

求解 partialmu/partialx 得到

(partialmu)/(partialx)=mu(x)((partialp)/(partialy)-(partialq)/(partialx))/q
(15)
=f(x,y)mu(x),
(16)

如果满足以下条件，则可积分

f(x,y)=((partialp)/(partialy)-(partialq)/(partialx))/q
(17)
=f(x),
(18)

在这种情况下

(dmu)/mu=f(x)dx,
(19)

因此方程是可积的

mu(x)=e^(intf(x)dx),
(20)

并且方程

[mup(x,y)]dx+[muq(x,y)]dy=0
(21)

其中 mu(x) 已知，现在是精确方程，可以作为精确 ODE 求解。

给定一个精确一阶 ODE，寻找积分因子 mu(x,y)=g(xy)。然后

(partialmu)/(partialx)=(partialg)/(partialx)y
(22)
(partialmu)/(partialy)=(partialg)/(partialy)x.
(23)

将这两者结合起来，

(partialmu)/(partialx)=y/x(partialmu)/(partialy).
(24)

为了使方程在 mup 和 muq 中是精确的，一阶非精确 ODE 的方程

p(partialmu)/(partialy)+mu(partialp)/(partialy)=q(partialmu)/(partialx)+mu(partialp)/(partialx)
(25)

变为

(partialmu)/(partialy)(p-y/xq)=((partialq)/(partialx)-(partialp)/(partialy))mu.
(26)

因此，

1/x(partialmu)/(partialy)=((partialq)/(partialx)-(partialp)/(partialy))/(xp-yq)mu.
(27)

定义一个新变量

t(x,y)=xy,
(28)

然后 partialt/partialy=x, 因此

(partialmu)/(partialt)=(partialmu)/(partialy)(partialy)/(partialt)=((partialq)/(partialx)-(partialp)/(partialy))/(xp-yq)mu(t)=f(x,y)mu(t).
(29)

现在，如果

f(x,y)=((partialq)/(partialx)-(partialp)/(partialy))/(xp-yq)=f(xy)=f(t),
(30)

那么

(partialmu)/(partialt)=f(t)mu(t),
(31)

因此

mu=e^(intf(t)dt)
(32)

并且方程

[mup(x,y)]dx+[muq(x,y)]dy=0
(33)

现在是精确方程，可以作为精确 ODE 求解。

给定一个非精确一阶 ODE，假设存在一个积分因子

mu=f(y),
(34)

因此 partialmu/partialx=0。为了使方程在 mup 和 muq 中是精确的，方程 (◇) 变为

(partialmu)/(partialy)=((partialq)/(partialx)-(partialp)/(partialy))/pmu=f(x,y)mu(y).
(35)

现在，如果

f(x,y)=((partialq)/(partialx)-(partialp)/(partialy))/p=f(y),
(36)

那么

(dmu)/mu=f(y)dy,
(37)

因此

mu(y)=e^(intf(y)dy),
(38)

并且方程

mup(x,y)dx+muq(x,y)dy=0
(39)

现在是精确方程，可以作为精确 ODE 求解。

给定一个形式为一阶 ODE 的

yf(xy)dx+xg(xy)dy=0,
(40)

定义

v=xy.
(41)

那么解是

{lnx=int(g(v)dv)/(c[g(v)-f(v)])+c for g(v)!=f(v); xy=c for g(v)=f(v).
(42)

如果

(dy)/(dx)=F(x,y)=G(v),
(43)

其中

v=y/x,
(44)

那么令

y=xv
(45)

得到

(dy)/(dx)=xdv/dx+v
(46)
x(dv)/(dx)+v=G(v).
(47)

这可以通过积分法求解，因此

lnx=int(dv)/(f(v)-v)+c for f(v)!=v
(48)
y=cx forf(v)=v.
(49)

另请参阅

一阶常微分方程, 常微分方程

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参考文献

Boyce, W. E. 和 DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004.Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

精确一阶常微分方程

请这样引用

Weisstein, Eric W. "精确一阶常微分方程。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ExactFirst-OrderOrdinaryDifferentialEquation.html

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