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Gegenbauer 微分方程

二阶常微分方程

(1-x^2)y^('')-2(mu+1)xy^'+(nu-mu)(nu+mu+1)y=0
(1)

有时称为超球面微分方程 (Iyanaga and Kawada 1980, p. 1480; Zwillinger 1997, p. 123)。此方程的解是

y=(x^2-1)^(-mu/2)[C_1P_nu^mu(x)+C_2Q_nu^mu(x)],
(2)

其中 P_nu^mu(x) 是第一类连带勒让德函数，Q_nu^mu(x) 是第二类连带勒让德函数。

此方程的许多其他形式有时也称为超球或 Gegenbauer 微分方程，包括

(1-x^2)y^('')-(2mu+1)xy^'+nu(nu+2mu)y=0.
(3)

此方程的通解是

y=(x^2-1)^((1-2mu)/4)[C_1P_(-1/2+mu+nu)^(1/2-mu)(x)+C_2Q_(-1/2+mu+nu)^(1/2-mu)(x)].
(4)

如果 -1/2+mu+nu 是整数，则其中一个解被称为 Gegenbauer 多项式 C_n^((lambda))(x)，也称为超球多项式。

形式

(1-x^2)y^('')-(2m+3)xy^'+lambday=0
(5)

也由 Infeld 和 Hull (1951, pp. 21-68) 以及 Zwillinger (1997, p. 122) 给出。它具有解

y=(x^2-1)^(-(2m+1)/4)[C_1P_(-1/2+sqrt((1+m)^2+lambda))^(1/2+m)(x)+C_2Q_(-1/2+sqrt((1+m)^2+lambda))^(1/2+m)(x)].
(6)

另请参阅

Gegenbauer 多项式

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编辑)。 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 纽约：Dover，1972 年。Infeld, L. 和 Hull, T. E. “因子分解法”。 Rev. Mod. Phys. 23, 21-68, 1951 年。Iyanaga, S. 和 Kawada, Y. (编辑)。 数学百科词典。 剑桥，马萨诸塞州：MIT Press，1980 年。Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理论物理方法，第一部分。 纽约：McGraw-Hill，pp. 547-549，1953 年。Zwillinger, D. 微分方程手册，第 3 版。 波士顿，马萨诸塞州：Academic Press，p. 127，1997 年。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Gegenbauer 微分方程

请引用为

Weisstein, Eric W. “Gegenbauer 微分方程”。来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GegenbauerDifferentialEquation.html

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