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惠特克微分方程

(d^2u)/(dz^2)+(du)/(dz)+(k/z+(1/4-m^2)/(z^2))u=0.
(1)

令 u=e^(-z/2)W_(k,m)(z), 其中 W_(k,m)(z) 表示 惠特克函数。则 (1) 变为

d/(dz)(-1/2e^(-z/2)W+e^(-z/2)W^')+(-1/2e^(-z/2)W+e^(-z/2)W^') +(k/z+(1/4-m^2)/(z^2))e^(-z/2)W=0.
(2)

整理，

(1/4e^(-z/2)W-1/2e^(-z/2)W^'-1/2e^(-z/2)W^'+e^(-z/2)W^(''))p +(-1/2e^(-z/2)W+e^(-z/2)W^')+(k/z+(1/4-m^2)/(z^2))e^(-z/2)W=0
(3)
-1/4e^(-z/2)W+e^(-z/2)W^('')+(k/z+(1/4-m^2)/(z^2))e^(-z/2)W=0,
(4)

因此

W^('')+(-1/4+k/z+(1/4-m^2)/(z^2))W=0,
(5)

其中 W^'=dW/dz (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 505; Zwillinger 1997, p. 128)。这些解被称为 惠特克函数。将 W(z) 替换为 y(x), 这些解也可以写成以下形式

y=e^(-x/2)x^(m+1/2)[C_1U(1/2-k+m,2m+1,x)+C_2L_(-1/2+k-m)^(2m)(x)],
(6)

其中 U(a,b,z) 是第二类合流超几何函数，而 L_n^a(x) 是广义 拉盖尔多项式。

另请参阅

惠特克函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). 数学函数手册：公式、图表和数学表，第 9 次印刷。 New York: Dover, p. 505, 1972.Zwillinger, D. 微分方程手册，第 3 版。 Boston, MA: Academic Press, p. 128, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

惠特克微分方程

引用为

魏斯stein, Eric W. "惠特克微分方程。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/WhittakerDifferentialEquation.html

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