拉盖尔微分方程由下式给出
(1)
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方程 (1) 是更一般的关联拉盖尔微分方程的一个特例,其定义为
(2)
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其中 和
是实数 (Iyanaga and Kawada 1980, p. 1481; Zwillinger 1997, p. 124),且
。
关联方程 (2) 的通解是
(3)
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其中 是第一类合流超几何函数,而
是广义拉盖尔多项式。
请注意,在特殊情况 下,关联拉盖尔微分方程的形式为如下形式
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因此可以使用积分因子找到解
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如下
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其中 是 En-函数。
关联拉盖尔微分方程在 0 处有一个正则奇点,在 处有一个非正则奇点。它可以使用级数展开求解,
(12)
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这要求
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对于 。 因此,
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对于 , 2, ...,因此
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如果 是一个非负整数,则级数终止,解由下式给出
(23)
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其中 是关联拉盖尔多项式,而
是Pochhammer 符号。在特殊情况
下,关联拉盖尔多项式退化为通常的拉盖尔多项式,解退化为
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