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拉盖尔微分方程


拉盖尔微分方程由下式给出

 xy^('')+(1-x)y^'+lambday=0.
(1)

方程 (1) 是更一般的关联拉盖尔微分方程的一个特例,其定义为

 xy^('')+(nu+1-x)y^'+lambday=0
(2)

其中 lambdanu 是实数 (Iyanaga and Kawada 1980, p. 1481; Zwillinger 1997, p. 124),且 nu=0

关联方程 (2) 的通解是

 t=C_1U(-lambda,1+nu,x)+C_2L_lambda^nu(x),
(3)

其中 U(a,b,x)第一类合流超几何函数,而 L_lambda^nu(x) 是广义拉盖尔多项式

请注意,在特殊情况 lambda=0 下,关联拉盖尔微分方程的形式为如下形式

 y^('')(x)+P(x)y^'(x)=0,
(4)

因此可以使用积分因子找到解

mu=exp(intP(x)dx)
(5)
=exp(int(nu+1-x)/xdx)
(6)
=exp[(nu+1)lnx-x]
(7)
=x^(nu+1)e^(-x),
(8)

如下

y=C_1int(dx)/mu+C_2
(9)
=C_1int(e^x)/(x^(nu+1))dx+C_2
(10)
=C_2-C_1x^(-nu)E_(1+nu)(-x),
(11)

其中 E_n(x)En-函数

关联拉盖尔微分方程在 0 处有一个正则奇点,在 infty 处有一个非正则奇点。它可以使用级数展开求解,

xsum_(n=2)^(infty)n(n-1)a_nx^(n-2)+(nu+1)sum_(n=1)^(infty)na_nx^(n-1)-xsum_(n=1)^(infty)na_nx^(n-1)+lambdasum_(n=0)^(infty)a_nx^n=0
(12)
sum_(n=2)^(infty)n(n-1)a_nx^(n-1)+(nu+1)sum_(n=1)^(infty)na_nx^(n-1)-sum_(n=1)^(infty)na_nx^n+lambdasum_(n=0)^(infty)a_nx^n=0
(13)
sum_(n=1)^(infty)(n+1)na_(n+1)x^n+(nu+1)sum_(n=0)^(infty)(n+1)a_(n+1)x^n-sum_(n=1)^(infty)na_nx^n+lambdasum_(n=0)^(infty)a_nx^n=0
(14)
[(nu+1)a_1+lambdaa_0]+sum_(n=1)^(infty){[(n+1)n+(nu+1)(n+1)]a_(n+1)-na_n+lambdaa_n}x^n=0
(15)
[(nu+1)a_1+lambdaa_0]+sum_(n=1)^(infty)[(n+1)(n+nu+1)a_(n+1)+(lambda-n)a_n]x^n=0.
(16)

这要求

a_1=-lambda/(nu+1)a_0
(17)
a_(n+1)=(n-lambda)/((n+1)(n+nu+1))a_n
(18)

对于 n>1。 因此,

 a_(n+1)=(n-lambda)/((n+1)(n+nu+1))a_n
(19)

对于 n=1, 2, ...,因此

y=sum_(n=0)^(infty)a_nx^n
(20)
=a_0_1F_1(-lambda,nu+1,x)
(21)
=a_0[1-lambda/(nu+1)x-(lambda(1-lambda))/(2(nu+1)(nu+2))x^2-(lambda(1-lambda)(2-lambda))/(2·3(nu+1)(nu+2)(nu+3))x^3+...].
(22)

如果 lambda 是一个非负整数,则级数终止,解由下式给出

 y=a_0(lambda!L_lambda^nu(x))/((nu+1)_lambda),
(23)

其中 L_lambda^nu(x)关联拉盖尔多项式,而 (a)_nPochhammer 符号。在特殊情况 nu=0 下,关联拉盖尔多项式退化为通常的拉盖尔多项式,解退化为

 y=a_0L_lambda(x).
(24)

另请参阅

关联拉盖尔多项式, 拉盖尔多项式

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参考文献

Iyanaga, S. and Kawada, Y. (Eds.). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, p. 1481, 1980.Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

拉盖尔微分方程

请引用为

Weisstein, Eric W. "Laguerre Differential Equation." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LaguerreDifferentialEquation.html

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