常微分方程--常系数系统

求解微分方程组

其中 是一个 矩阵， 和 是 向量，首先考虑齐次情况 。以下方程的解为

由下式给出

但是，根据 特征分解定理，矩阵指数 可以写成

其中 特征向量 矩阵 为

且 特征值 矩阵 为

现在考虑

则各个解为

因此，齐次解为

其中 是任意常数。

因此，一般步骤如下

1. 通过求解 特征方程 找到矩阵 的 特征值 (, ..., )。

2. 确定相应的 特征向量 , ..., 。

3. 计算

对于 , ..., 。 则 向量 （实数）是齐次方程的解。 如果 是一个 矩阵，则 复数 向量 对应于由 和 给出的齐次方程的实数解。

4. 如果方程是非齐次的，找到由下式给出的特解

其中 矩阵 由下式定义

如果方程是齐次的，使得 ，那么寻找 以下形式 的解

这将得到方程

因此 是一个 特征向量，而 是一个 特征值。

5. 通解为