线性相关函数

如果对于某些不全为零的 , , ..., ， 个函数 , , ..., 是线性相关的，

(1)

对于某个区间 内的所有 都成立。如果这些函数不是线性相关的，则称它们是线性无关的。现在，如果函数在 （具有 阶连续导数的函数空间）中，我们可以对 (1) 求导至多 次。因此，线性相关性也要求

			(2)
			(3)
			(4)

其中求和是对 , ..., 进行的。当且仅当 行列式

(5)

其中 行列式 传统上被称为 朗斯基行列式，并记为 。

如果在区间 中的任何值 ，朗斯基行列式 ，那么 (2) 的唯一可能解是 (, ..., )，且这些函数是线性无关的。另一方面，如果 在某个范围内成立，那么这些函数在该范围内的某个地方是线性相关的。这等价于陈述：如果由下式定义的向量 , ...,

(6)

对于至少一个 是线性无关的，那么函数 在 中是线性无关的。